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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

$+{\sqrt {\frac {r+r'+\rho }{p}}}=\eta +{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta ),$

puisque $\eta$ et $\theta '-\theta$ sont des quantités positives ; mais comme ${\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )$ est plus petit ou plus grand que $\eta ,$ suivant que

$\eta ^{2}-{\frac {1}{4}}(\theta '-\theta )^{2}=1+\theta \theta '={\frac {\cos f}{\cos {\dfrac {1}{2}}v\cos {\dfrac {1}{2}}v'}}$

est positif ou négatif, il est évident que de la seconde équation, on devra conclure

$\pm {\sqrt {\frac {r+r'-\rho }{p}}}=\eta -{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta ),$

où l’on devra adopter le signe supérieur ou le signe inférieur selon que l’angle décrit autour du Soleil sera plus petit ou plus grand que 180°.

De l’équation qui, dans l’art. 98, suit la seconde équation, nous avons ensuite,

${\begin{aligned}{\frac {2kt}{p^{\frac {3}{2}}}}&=(\theta '-\theta )\left(1+\theta \theta '+{\frac {1}{3}}(\theta '-\theta )^{2}\right)\\&=(\theta '-\theta )\left(\eta ^{2}+{\frac {1}{12}}(\theta '-\theta )^{2}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left(\eta +{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\right)^{3}-{\frac {1}{3}}\left(\eta -{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\right)^{3}\end{aligned}}$

d’où il suit immédiatement,

$kt={\frac {1}{6}}\left[(r+r'+\rho )^{\frac {3}{2}}\mp (r+r'-\rho )^{\frac {3}{2}}\right],$

le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris, selon que $2f$ est plus petit ou plus grand que 180°.

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Si, dans l’hyperbole, nous conservons aux lettres $\alpha ,$ $\mathrm {C} ,$ $c$ la même signification que dans l’art. 99, nous obtenons, d’après les équations VIII, IX de l’art. 21,

$r'\cos v'-r\cos v=-{\frac {1}{2}}\left(c-{\frac {1}{c}}\right)\left(\mathrm {C} -{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\alpha ,$