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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.
![{\displaystyle +{\sqrt {\frac {r+r'+\rho }{p}}}=\eta +{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecf5592096f985742bf670e753c84e0f31970f3b)
puisque
et
sont des quantités positives ; mais comme
est plus petit ou plus grand que
suivant que
![{\displaystyle \eta ^{2}-{\frac {1}{4}}(\theta '-\theta )^{2}=1+\theta \theta '={\frac {\cos f}{\cos {\dfrac {1}{2}}v\cos {\dfrac {1}{2}}v'}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/843a9e3c0ce55b99583d4b8150dce2eab0c4033c)
est positif ou négatif, il est évident que de la seconde équation, on
devra conclure
![{\displaystyle \pm {\sqrt {\frac {r+r'-\rho }{p}}}=\eta -{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10299ae61d38c8dd0676e9608fe28416dcc30d0d)
où l’on devra adopter le signe supérieur ou le signe inférieur selon
que l’angle décrit autour du Soleil sera plus petit ou plus grand
que 180°.
De l’équation qui, dans l’art. 98, suit la seconde équation, nous
avons ensuite,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2kt}{p^{\frac {3}{2}}}}&=(\theta '-\theta )\left(1+\theta \theta '+{\frac {1}{3}}(\theta '-\theta )^{2}\right)\\&=(\theta '-\theta )\left(\eta ^{2}+{\frac {1}{12}}(\theta '-\theta )^{2}\right)\\&={\frac {1}{3}}\left(\eta +{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\right)^{3}-{\frac {1}{3}}\left(\eta -{\frac {1}{2}}(\theta '-\theta )\right)^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b95f40ac10bc1feee0ce68e8980fa5444174fcaa)
d’où il suit immédiatement,
![{\displaystyle kt={\frac {1}{6}}\left[(r+r'+\rho )^{\frac {3}{2}}\mp (r+r'-\rho )^{\frac {3}{2}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dad7eed0686feed2cd8ea5dcf536b31f85a21fc7)
le signe supérieur ou le signe inférieur devant être pris, selon que
est plus petit ou plus grand que 180°.
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Si, dans l’hyperbole, nous conservons aux lettres
la même
signification que dans l’art. 99, nous obtenons, d’après les équations VIII, IX de l’art. 21,
![{\displaystyle r'\cos v'-r\cos v=-{\frac {1}{2}}\left(c-{\frac {1}{c}}\right)\left(\mathrm {C} -{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847e9d43db35dbfe38198327bc4166b20a07e88b)