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LIVRE I, SECTION III.

$r'\sin v'-r\sin v={\frac {1}{2}}\left(c-{\frac {1}{c}}\right)\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\alpha {\sqrt {e^{2}-1}}\,;$

et par conséquent,

$\rho ={\frac {1}{2}}\alpha \left(c-{\frac {1}{c}}\right){\sqrt {\left[e^{2}\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)^{2}-4\right]}}.$

Supposons que $\gamma$ soit une quantité déterminée par l’équation

$\gamma +{\frac {1}{\gamma }}=e\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\,;$

comme deux valeurs réciproques de $\gamma$ satisfont évidemment à cette équation, nous devons adopter celle qui est plus grande que 1. On a ainsi

$\rho ={\frac {1}{2}}\alpha \left(c-{\frac {1}{c}}\right)\left(\gamma -{\frac {1}{\gamma }}\right).$

On a, en outre,

${\begin{aligned}r+r'&={\frac {1}{2}}\alpha \left[e\left(c+{\frac {1}{c}}\right)\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)-4\right]\\&={\frac {1}{2}}\alpha \left[\left(c+{\frac {1}{c}}\right)\left(\gamma +{\frac {1}{\gamma }}\right)-4\right]\end{aligned}}$

et alors,

${\begin{aligned}r+r'+\rho &=\alpha \left({\sqrt {c{\overset {}{\gamma }}}}-{\sqrt {\frac {1}{c\gamma }}}\right)^{2},\\r+r'-\rho &=\alpha \left({\sqrt {\frac {\gamma }{c}}}-{\sqrt {\frac {c}{\gamma }}}\right)^{2}.\end{aligned}}$

En posant donc,

${\sqrt {\frac {r+r'+\rho }{4\alpha }}}=m,\quad {\sqrt {\frac {r+r'-\rho }{4\alpha }}}=n,$

on aura nécessairement

${\sqrt {c{\overset {}{\gamma }}}}-{\sqrt {\frac {1}{c\gamma }}}=2m\,;$

mais pour décider la question si ${\sqrt {\frac {\gamma }{c}}}-{\sqrt {\frac {c}{\gamma }}}$ doit être $=+2n$ ou $=-2n,$ il faut chercher si $\gamma$ est plus grand ou plus petit que $i\,;$ mais il résulte facilement de l’équation 8, art. 99, que le premier cas a lieu toutes les fois que $2f$ est inférieur à 180°, et le second,