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LIVRE I, SECTION III.
![{\displaystyle r'\sin v'-r\sin v={\frac {1}{2}}\left(c-{\frac {1}{c}}\right)\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\alpha {\sqrt {e^{2}-1}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b48c9091aa2f44b4b2a444b50173d46e3f6869)
et par conséquent,
![{\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\alpha \left(c-{\frac {1}{c}}\right){\sqrt {\left[e^{2}\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)^{2}-4\right]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a728f63d5f34b22af89f6104bae1fd6b169e9b89)
Supposons que
soit une quantité déterminée par l’équation
![{\displaystyle \gamma +{\frac {1}{\gamma }}=e\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ab39f85d0562c92fbc45d0687ead8ec74ed6466)
comme deux valeurs réciproques de
satisfont évidemment à cette
équation, nous devons adopter celle qui est plus grande que 1. On
a ainsi
![{\displaystyle \rho ={\frac {1}{2}}\alpha \left(c-{\frac {1}{c}}\right)\left(\gamma -{\frac {1}{\gamma }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbd6ee8b9f3f317e5e408ed78235d6c9c77de716)
On a, en outre,
![{\displaystyle {\begin{aligned}r+r'&={\frac {1}{2}}\alpha \left[e\left(c+{\frac {1}{c}}\right)\left(\mathrm {C} +{\frac {1}{\mathrm {C} }}\right)-4\right]\\&={\frac {1}{2}}\alpha \left[\left(c+{\frac {1}{c}}\right)\left(\gamma +{\frac {1}{\gamma }}\right)-4\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6026ce8363b107d8343bd72b81d3194a199bfd66)
et alors,
![{\displaystyle {\begin{aligned}r+r'+\rho &=\alpha \left({\sqrt {c{\overset {}{\gamma }}}}-{\sqrt {\frac {1}{c\gamma }}}\right)^{2},\\r+r'-\rho &=\alpha \left({\sqrt {\frac {\gamma }{c}}}-{\sqrt {\frac {c}{\gamma }}}\right)^{2}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5f23572ff3feba28f4d0638eae1d5841f277fb4)
En posant donc,
![{\displaystyle {\sqrt {\frac {r+r'+\rho }{4\alpha }}}=m,\quad {\sqrt {\frac {r+r'-\rho }{4\alpha }}}=n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50b84f63ca2d0ea25c27ac57ac8083d8695b0eb0)
on aura nécessairement
![{\displaystyle {\sqrt {c{\overset {}{\gamma }}}}-{\sqrt {\frac {1}{c\gamma }}}=2m\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79865519e768fcd5284ca5c10ba76705941154a9)
mais pour décider la question si
doit être
ou
il faut chercher si
est plus grand ou plus petit que
mais il résulte facilement de l’équation 8, art. 99, que le premier
cas a lieu toutes les fois que
est inférieur à 180°, et le second,