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RELATIONS ENTRE PLUSIEURS POSITIONS DANS L’ORBITE.

toutes les fois que $2f$ est supérieur à 180°. Enfin, du même article nous avons

${\begin{aligned}{\frac {kt}{a^{\frac {3}{2}}}}&={\frac {1}{2}}\left(\gamma +{\frac {1}{\gamma }}\right)\left(c-{\frac {1}{c}}\right)-2\log c\\&={\frac {1}{2}}\left(c\gamma -{\frac {1}{c\gamma }}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {\gamma }{c}}-{\frac {c}{\gamma }}\right)-\log c\gamma +\log {\frac {\gamma }{c}}\\[0.5ex]&=2m{\sqrt {1+m^{2}}}\mp 2n{\sqrt {1+n^{2}}}-2\log \left({\sqrt {1+m^{2}}}+m\right)\\&\qquad \qquad \qquad \pm 2\log \left({\sqrt {1+n^{2}}}+n\right),\end{aligned}}$

les signes inférieurs concernant toujours le cas où $2f>180^{\circ }.$ Maintenant, $\log \left({\sqrt {1+m^{2}}}+m\right)$ se développe facilement en la série suivante :

$m-{\frac {1}{3}}.{\frac {1}{2}}m^{3}+{\frac {1}{5}}.{\frac {1.3}{2.4}}m^{5}-{\frac {1}{7}}.{\frac {1.3.5}{2.4.6}}m^{7}+\dots \mathrm {etc.}$

Ceci se déduit immédiatement de

$d.\log \left({\sqrt {1+m^{2}}}+m\right)={\frac {dm}{\sqrt {1+m^{2}}}}.$

C’est pourquoi l’on trouve

${\begin{aligned}2m{\sqrt {1+m^{2}}}&-2\log \left({\sqrt {1+m^{2}}}+m\right)\\&=4\left({\frac {1}{3}}m^{3}-{\frac {1}{5}}.{\frac {1}{2}}m^{5}+{\frac {1}{7}}.{\frac {1.3}{2.4}}m^{7}-\dots \mathrm {etc.} \right)\end{aligned}}$

et de même, une formule entièrement semblable, si l’on change $m$ en $n.$ De là, enfin, si l’on pose

${\begin{aligned}\mathrm {T} ={\frac {1}{6}}(r\!+\!r'\!-\!\rho )^{\frac {3}{2}}-{\frac {1}{80}}&.{\frac {1}{\alpha }}(r\!+\!r'\!-\!\rho )^{\frac {5}{2}}\!+\!{\frac {3}{1792}}.{\frac {1}{\alpha ^{2}}}(r\!+\!r'\!-\!\rho )^{\frac {7}{2}}\\-{\frac {5}{18432}}&.{\frac {1}{\alpha ^{3}}}(r\!+\!r'\!-\!\rho )^{\frac {9}{2}}+\dots \mathrm {etc.} ,\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {U} ={\frac {1}{6}}(r\!+\!r'\!+\!\rho )^{\frac {3}{2}}-{\frac {1}{80}}&.{\frac {1}{\alpha }}(r\!+\!r'\!+\!\rho )^{\frac {5}{2}}+{\frac {3}{1792}}.{\frac {1}{\alpha ^{2}}}(r\!+\!r'\!+\!\rho )^{\frac {7}{2}}\\-{\frac {5}{18432}}&.{\frac {1}{\alpha ^{3}}}(r\!+\!r'\!+\!\rho )^{\frac {9}{2}}+\dots \mathrm {etc.} ,\end{aligned}}$

on obtient

$kt=\mathrm {U} \mp \mathrm {T} ,$

expressions qui s’accordent entièrement avec celles développées dans l’art. 107, si dans celles-là on change $a$ en $-\alpha .$

Au reste ces séries, soit pour l’ellipse, soit pour l’hyperbole, sont