Page:Gauss - Théorie du mouvement des corps célestes, traduction Dubois, 1864.djvu/220

201

DÉTERMINATION DE L’ORBITE D’APRÈS TROIS OBSERVATIONS COMPLÈTES.

À l’aide des équations 3 et 4, ${\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D+\mathrm {A''D} } )$ et $\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon$ seront déterminés, ${\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D-\mathrm {A''D} } )$ et $\cos {\frac {1}{2}}\varepsilon$ le seront au moyen des deux autres ; de là $\mathrm {A'D} ,$ $\mathrm {A''D}$ et $\varepsilon .$ L’ambiguïté dans la détermination des arcs ${\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D} +\mathrm {A''D} )$ et ${\frac {1}{2}}(\mathrm {A'D} -\mathrm {A''D} )$ par le moyen des tangentes, sera écartée par la condition que $\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon$ et $\cos {\frac {1}{2}}\varepsilon$ doivent être positifs, et l’accord entre $\sin {\frac {1}{2}}\varepsilon$ et $\cos {\frac {1}{2}}\varepsilon$ servira à confirmer tout le calcul.

La détermination des quantités $\mathrm {AD} ',$ $\mathrm {A''D} ',$ $\varepsilon ',$ $\mathrm {AD} '',$ $\mathrm {A'D} '',$ $\varepsilon ''$ s’effectuera d’une manière entièrement semblable, et il n’y aura pas besoin de transcrire ici les huit équations employées dans ce calcul, puisqu’elles se déduisent immédiatement des équations 3 — 6, si l’on change respectivement,

$\mathrm {A'D}$	$\mathrm {A''D}$	$\varepsilon$	$l''-l'$	$\gamma ''$	$\gamma '$
avec $\mathrm {AD'}$	$\mathrm {A''D'}$	$\varepsilon '$	$l''-l$	$\gamma ''$	$\gamma$
ou avec $\mathrm {AD''}$	$\mathrm {A'D''}$	$\varepsilon ''$	$l'-l$	$\gamma '$	$\gamma$

Une nouvelle vérification du calcul entier peut se déduire de la relation mutuelle qui existe entre les côtés et les angles du triangle sphérique formé entre les points $\mathrm {D} ,\,\mathrm {D} ',\,\mathrm {D} '',$ d’où dérivent les équations suivantes, vraies d’une manière générale, quelle que soit la position de ces points,

${\frac {\sin(\mathrm {AD} '-\mathrm {AD} '')}{\sin \varepsilon }}={\frac {\sin(\mathrm {A'D} -\mathrm {A'D} '')}{\sin \varepsilon '}}={\frac {\sin(\mathrm {A''D} -\mathrm {A''D} ')}{\sin \varepsilon ''}}.$

Enfin, si, au lieu de l’écliptique, on choisit l’équateur comme plan fondamental, le calcul ne subit pas de changement, si ce n’est qu’à la place des lieux héliocentriques $\mathrm {A,\,A',\,A''}$ de la Terre, il faut substituer ces points où l’équateur est coupé par les cercles $\mathrm {AB} ,\,\mathrm {A'B'} ,\,\mathrm {A''B''} \,;$ par conséquent, les ascensions droites de ces intersections devront être prises à la place de $l,\,l',\,l'',$ et, à la place de $\mathrm {A'D} ,$ la distance du point $\mathrm {D}$ à la seconde intersection, etc.

138

Le troisième travail consiste maintenant à joindre les deux lieux géocentriques extrêmes du corps céleste, c’est-à-dire les points $\mathrm {B}$ et