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LIVRE II, SECTION I.

$\mathrm {B} '',$ par un grand cercle, et à déterminer son intersection avec le grand cercle $\mathrm {A'B} .$ Soient $\mathrm {B} ^{\star }$ cette intersection, et $\delta '-\sigma$ sa distance au point $\mathrm {A} \,;$ soient aussi $\alpha ^{\star }$ sa longitude, et $\beta ^{\star }$ sa latitude. Nous avons alors, puisque les points $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {B} ^{\star },$ $\mathrm {B} ''$ sont situés sur le même grand cercle, l’équation bien connue

$0=\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha ^{\star })-\operatorname {tang} \beta ^{\star }\sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha )+\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha ^{\star }\!\!-\!\alpha ),$

qui, en substituant $\operatorname {tang} \gamma '\sin(\alpha ^{\star }-l')$ à la place de $\operatorname {tang} \beta ^{\star },$ prend la forme suivante :

${\begin{aligned}0=\cos(\alpha ^{\star }\!\!-\!l'){\big [}\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''\!\!-\!l')-\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha \!\!-\!l'){\big ]}\;\;&\\-\sin(\alpha ^{\star }\!\!-\!l'){\big [}\operatorname {tang} \beta \cos(\alpha ''-l')+\operatorname {tang} \gamma '\sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha )&\\-\operatorname {tang} \beta ''\cos(\alpha \!\!-\!l')&{\big ]}.\end{aligned}}$

C’est pourquoi, puisque $\operatorname {tang} (\alpha ^{\star }-l')=\cos \gamma '\operatorname {tang} (\delta '-\sigma ),$ nous aurons

$\operatorname {tang} (\delta '\!\!-\!\sigma )={\frac {\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''\!\!-\!l')-\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha \!\!-\!l')}{\cos \gamma '\left[\operatorname {tang} \beta \cos(\alpha ''\!\!-\!l')-\operatorname {tang} \beta ''\cos(\alpha \!\!-\!l')\right]+\sin \gamma '\sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha )}}.$

De là dérivent les formules suivantes, accommodées le mieux au calcul numérique. En posant

[7]

$\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''-l')-\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha -l')=\mathrm {S} ,$

[8]

$\operatorname {tang} \beta \cos(\alpha ''-l')-\operatorname {tang} \beta ''\cos(\alpha -l')=\mathrm {T} \sin t,$

[9]

$\sin(\alpha ''-\alpha )=\mathrm {T} \cos t,$

on aura (art. 14, II),

[10]

$\operatorname {tang} (\delta '-\sigma )={\frac {\mathrm {S} }{\mathrm {T} \sin(t+\gamma ')}}.$

L’ambiguïté dans la détermination de l’arc $(\delta '-\sigma )$ par la tangente provient de ce que les grands cercles $\mathrm {A'B} ',$ $\mathrm {BB} ''$ se coupent en deux points ; nous adopterons toujours pour $\mathrm {B} ^{\star }$ l’intersection voisine du point $\mathrm {B} ',$ de telle sorte que $\sigma$ tombe toujours entre les limites $-90^{\circ }$ et $+90^{\circ },$ d’après quoi cette ambiguïté est écartée.

Le plus souvent alors, la valeur de l’arc $\sigma$ (qui dépend de la courbure du mouvement géocentrique) sera une quantité assez petite, et même, généralement parlant, du second ordre, si les intervalles de temps sont considérés comme des quantités de premier ordre.

D’après la remarque de l’article précédent, on verra immédiatement quelles modifications devra subir le calcul si, à la place de l’écliptique, on choisit l’équateur comme plan fondamental.