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LIVRE II, SECTION I.
par un grand cercle, et à déterminer son intersection avec le
grand cercle
Soient
cette intersection, et
sa distance au
point
soient aussi
sa longitude, et
sa latitude. Nous avons
alors, puisque les points
sont situés sur le même grand
cercle, l’équation bien connue
![{\displaystyle 0=\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha ^{\star })-\operatorname {tang} \beta ^{\star }\sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha )+\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha ^{\star }\!\!-\!\alpha ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0359b238c17a9d3bbab9eec4bbbb0a813e612cd1)
qui, en substituant
à la place de
prend la
forme suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=\cos(\alpha ^{\star }\!\!-\!l'){\big [}\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''\!\!-\!l')-\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha \!\!-\!l'){\big ]}\;\;&\\-\sin(\alpha ^{\star }\!\!-\!l'){\big [}\operatorname {tang} \beta \cos(\alpha ''-l')+\operatorname {tang} \gamma '\sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha )&\\-\operatorname {tang} \beta ''\cos(\alpha \!\!-\!l')&{\big ]}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e550915628a2c4d660838f34000a684f95b7fa6f)
C’est pourquoi, puisque
nous
aurons
![{\displaystyle \operatorname {tang} (\delta '\!\!-\!\sigma )={\frac {\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''\!\!-\!l')-\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha \!\!-\!l')}{\cos \gamma '\left[\operatorname {tang} \beta \cos(\alpha ''\!\!-\!l')-\operatorname {tang} \beta ''\cos(\alpha \!\!-\!l')\right]+\sin \gamma '\sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha )}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383ed0ca768a0fa75a3f0fd517b600de9c2250b7)
De là dérivent les formules suivantes, accommodées le mieux au
calcul numérique. En posant
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on aura (art. 14, II),
[10]
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L’ambiguïté dans la détermination de l’arc
par la tangente provient de ce que les grands cercles
se coupent en
deux points ; nous adopterons toujours pour
l’intersection voisine
du point
de telle sorte que
tombe toujours entre les limites
et
d’après quoi cette ambiguïté est écartée.
Le plus souvent alors, la valeur de l’arc
(qui dépend de la
courbure du mouvement géocentrique) sera une quantité assez petite,
et même, généralement parlant, du second ordre, si les intervalles de
temps sont considérés comme des quantités de premier ordre.
D’après la remarque de l’article précédent, on verra immédiatement
quelles modifications devra subir le calcul si, à la place de l’écliptique, on choisit l’équateur comme plan fondamental.