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DÉTERMINATION DE L’ORBITE D’APRÈS TROIS OBSERVATIONS COMPLÈTES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

et en introduisant l’angle auxiliaire $\omega ,$ tel que l’on ait

$\operatorname {tang} \omega ={\frac {\sin \sigma }{b{\dfrac {\mathrm {P} +1}{\mathrm {P} +a}}-\cos \sigma }},$

il vient l’équation

(IV)

$c\mathrm {Q} \sin \omega \sin ^{4}z=\sin(z-\omega -\sigma )$

de laquelle il faudra tirer l’inconnue $z.$ Afin de pouvoir calculer le plus commodément l’angle $\omega ,$ il conviendra de présenter la formule précédente relative à $\operatorname {tang} \omega ,$ sous la forme

$\operatorname {tang} \omega ={\frac {(\mathrm {P} +a)\operatorname {tang} \sigma }{\mathrm {P} \left({\dfrac {b}{\cos \sigma }}-1\right)+\left({\dfrac {b}{\cos \sigma }}-a\right)}}.$

C’est pourquoi, en posant

[15]

${\frac {{\dfrac {b}{\cos \sigma }}-a}{{\dfrac {b}{\cos \sigma }}-1}}=d,$

[16]

${\frac {\operatorname {tang} \sigma }{{\dfrac {b}{\cos \sigma }}-1}}=e,$

nous aurons, pour déterminer $\omega ,$ la formule très-simple

$\operatorname {tang} \omega ={\frac {e(\mathrm {P} +a)}{\mathrm {P} +d}}.$

Nous considérerons comme le quatrième travail le calcul des quantités $a,$ $b,$ $c,$ $d,$ $e$ à l’aide des formules 11-16, calcul qui ne dépend que des seules quantités données. Les quantités $b,$ $c,$ $e$ ne seront pas elles-mêmes nécessaires, mais leurs logarithmes.

Il existe un cas spécial où ces principes demandent quelque changement. Toutes les fois, en effet, que le grand cercle $\mathrm {BB} ''$ coïncide avec $\mathrm {A''B} '',$ et par suite, les points $\mathrm {B} ,\,\mathrm {B} ^{\star }$ avec $\mathrm {D} ',\,\mathrm {D} ,$ respectivement, les quantités $a$ et $b$ acquièrent des valeurs infinies. En posant, dans ce cas,

${\frac {\mathrm {R} \sin \delta \sin(\mathrm {A''D} ''-\delta '+\sigma )}{\mathrm {R} '\sin \delta '\sin(\mathrm {AD} ''-\delta )}}=\pi ,$