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LIVRE II, SECTION I.

erreurs inévitables des tables que la première, et par suite devra lui être préférée, si une petite différence, expliquée par là, résulte dans les valeurs de $b\,;$ on devra au contraire, accorder plus de confiance à la première formule toutes les fois que $\sin(\mathrm {A'D} ''-\delta '+\sigma )$ est moindre que $\sin(\mathrm {A'D} -\delta '+\sigma )\,;$ si on le préfère, on adoptera une moyenne convenable entre les deux valeurs.

Les formules suivantes peuvent servir à la vérification du calcul ; pour être plus bref, nous supprimons cependant leur déduction, qui n’est pas assurément difficile :

${\begin{aligned}0&={\frac {a\sin(l''-l')}{\mathrm {R} }}-{\frac {b\sin(l''-l)}{\mathrm {R} '}}.{\frac {\sin(\delta '-\sigma )}{\sin \delta '}}+{\frac {\sin(l'-l)}{\mathrm {R} ''}}\\b&={\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''}}.{\frac {\mathrm {U} \cos \beta \cos \beta ''}{\sin(\mathrm {AD} '-\delta )\sin \varepsilon '}};\end{aligned}}$

dans cette formule, $\mathrm {U}$ exprime le quotient

${\frac {\mathrm {S} }{\sin(\delta '-\sigma )}}={\frac {\mathrm {T} \sin(t+\gamma ')}{\cos(\delta '-\sigma )}}\,;$ (art. 138, éq. 10).

141

De $\mathrm {P} ={\frac {n''}{n}},$ et de l’équation III de l’article précédent, on déduit

$(n+n''){\frac {\mathrm {P} +a}{\mathrm {P} +1}}=bn'{\frac {\sin(z-\sigma )}{\sin z}}\,;$

mais de là, et au moyen de

$\mathrm {Q} =2\left({\frac {n+n''}{n'}}-1\right)r'^{2}$ et $r'={\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '}{\sin z}}$

on trouve

$\sin z+{\frac {\mathrm {Q} \sin ^{4}z}{2\mathrm {R} '^{3}\sin ^{3}\delta '}}=b\,{\frac {\mathrm {P} +1}{\mathrm {P} +a}}\sin(z-\sigma ),$

ou

${\frac {\mathrm {Q} \sin ^{4}z}{2\mathrm {R} '^{3}\sin ^{3}\delta '}}=\left(b\,{\frac {\mathrm {P} +1}{\mathrm {P} +a}}-\cos \sigma \right)\sin(z-\sigma )-\sin \sigma \cos(z-\sigma ).$

En posant donc, pour abréger,

[14]

${\frac {1}{2\mathrm {R} '^{3}\sin ^{3}\delta '\sin \sigma }}=c,$