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LIVRE II, SECTION I.

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Aussitôt que l’angle $z$ est obtenu, on a immédiatement $r'$ par l’équation

$r'={\frac {\mathrm {R} '\sin \delta '}{\sin z}}.$

De plus, au moyen de l’équation $\mathrm {P} ={\frac {n''}{n}}$ et de l’équation III nous obtenons

${\begin{aligned}{\frac {n'r'}{n}}&={\frac {(\mathrm {P} +a)\mathrm {R} '\sin \delta '}{b\sin(z-\sigma )}},\\{\frac {n'r'}{n''}}&={\frac {1}{\mathrm {P} }}.{\frac {n'r'}{n}}.\end{aligned}}$

Maintenant, pour que les formules, d’après lesquelles les positions des points $\mathrm {C} ,$ $\mathrm {C} ''$ sont déterminées relativement à la position du point $\mathrm {C} ',$ soient traitées de manière que leur exactitude générale se montre immédiatement aussi relativement à ces cas que la figure 4 ne représente pas, nous observons que le sinus de la distance du point $\mathrm {C} '$ au grand cercle $\mathrm {CB}$ (prise positivement dans la région supérieure, négativement dans l’inférieure) est égal au produit du sinus $\varepsilon ''$ par le sinus de la distance du point $\mathrm {C} '$ au point $\mathrm {D} '',$ distance mesurée suivant la direction directe, et par suite est égal à

$-\sin \varepsilon ''\sin \mathrm {C'D} ''=-\sin \varepsilon ''\sin(z+\mathrm {A'D} ''-\delta ')\,;$

de même, le sinus de la distance du point $\mathrm {C} ''$ au grand cercle $=-\sin \varepsilon '\sin \mathrm {C''D} '.$ Mais il est évident, que ces mêmes sinus sont entre eux comme $\sin \mathrm {CC} '$ est à $\sin \mathrm {CC} '',$ ou comme ${\frac {n''}{rr'}}$ est à ${\frac {n'}{rr''}},$ ou comme $n''r''$ est à $n'r'.$

En posant donc $\mathrm {C''D} '=\zeta '',$ nous avons

V.

$r''\sin \zeta ''={\frac {n'r'}{n''}}.{\frac {\sin \varepsilon ''}{\sin \varepsilon '}}\sin(z+\mathrm {A'D} ''-\delta ').$

D’une manière entièrement semblable, on obtient, en posant $\mathrm {CD} '=\zeta ,$

VI.

$r\sin \zeta ={\frac {n'r'}{n}}.{\frac {\sin \varepsilon }{\sin \varepsilon '}}\sin(z+\mathrm {A'D} -\delta '),$