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DÉTERMINATION DE L’ORBITE D’APRÈS TROIS OBSERVATIONS COMPLÈTES.

VII.

$r\sin(\zeta +\mathrm {AD} ''-\mathrm {AD} ')=r'\mathrm {P} {\frac {\sin \varepsilon }{\sin \varepsilon ''}}\sin(\zeta ''+\mathrm {A''D} -\mathrm {A''D} ').$

En combinant les équations V et VI avec les équations suivantes transcrites de l’art. 139,

VIII.

$r''\sin(\zeta ''-\mathrm {A''D} '+\delta '')=\mathrm {R} ''\sin \delta '',$

IX.

$r\sin(\zeta -\mathrm {AD} '+\delta )=\mathrm {R} \sin \delta ,$

les quantités $\zeta ,$ $\zeta '',$ $r,$ $r''$ s’en déduiront d’après la méthode de l’art. 78. Pour effectuer ce calcul plus commodément, il ne sera pas désagréable de rapporter ici les formules elles-mêmes. Posons

[17]

${\frac {\mathrm {R} \sin \delta }{\sin(\mathrm {AD} '-\delta )}}=\varkappa ,$

[18]

${\frac {\mathrm {R} ''\sin \delta ''}{\sin(\mathrm {A''D} '-\delta '')}}=\varkappa '',$

[19]

${\frac {\cos(\mathrm {AD} '-\delta )}{\mathrm {R} \sin \delta }}=\lambda ,$

[20]

${\frac {\cos(\mathrm {A''D} '-\delta '')}{\mathrm {R} ''\sin \delta ''}}=\lambda ''.$

Le calcul de ces quantités, ou plutôt de leurs logarithmes, encore indépendantes de $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q} ,$ est considéré comme le cinquième et dernier travail des opérations quasi-préliminaires, et s’effectue en même temps facilement avec le calcul de $a,$ $b,$ ou avec le quatrième travail dans lequel $a$ devient égal à ${\frac {\varkappa }{\varkappa ''}}.$

En faisant ensuite,

${\begin{aligned}{\frac {n'r'}{n}}.{\frac {\sin \varepsilon }{\sin \varepsilon '}}&\sin(z+\mathrm {A'D} -\delta ')=p,\\{\frac {n'r'}{n''}}.{\frac {\sin \varepsilon ''}{\sin \varepsilon '}}&\sin(z+\mathrm {A'D''} \!-\delta ')=p'',\\[0.75ex]\varkappa (\lambda p&-1)=q,\\\varkappa (\lambda ''p''&-1)=q'',\end{aligned}}$

nous obtenons $\zeta$ et $r$ de

$r\sin \zeta =p,\qquad r\cos \zeta =q\,;$

puis, $\zeta ''$ et $r'',$ de

$r''\sin \zeta ''=p''\qquad r''\cos \zeta ''=q''.$