Page:Gauss - Théorie du mouvement des corps célestes, traduction Dubois, 1864.djvu/296

277

DÉTERMINATION D’UNE ORBITE SATISFAISANT À PLUSIEURS OBSERVATIONS.

même pas nécessaire que les fonctions $\mathrm {V} ,$ $\mathrm {V} ',$ $\mathrm {V} '',\ldots$ se rapportent à des quantités homogènes, mais elles pourront aussi représenter des qualités hétérogènes (par exemple des secondes d’arc et de temps), pourvu qu’on puisse estimer le rapport des erreurs qui ont pu avoir été commises, avec une égale facilité, dans chacune d’elles.

180

Le principe exposé dans l’article précédent se recommande aussi par cette raison que la détermination numérique des inconnues se réduit à un algorithme très-prompt, toutes les fois que les fonctions $\mathrm {V} ,$ $\mathrm {V} ',$ $\mathrm {V} '',\ldots$ etc., sont linéaires. Supposons qu’on ait

${\begin{alignedat}{8}\mathrm {V} &-\mathrm {M} &{}={}&v&{}={}&-m&{}+{}&a&&p+b&&q+c&&r+d&&s&{}+{}&.\!.\!.\!.\!.\!.{\text{etc.}}\\\mathrm {V} '\!&-\mathrm {M} '&{}={}&v'&{}={}&-m'&{}+{}&a'&&p+b'&&q+c'&&r+d'&&s&{}+{}&.\!.\!.\!.\!.\!.{\text{etc.}}\\\mathrm {V} ''\!&-\mathrm {M} ''&{}={}&v''&{}={}&-m''&{}+{}&a''&&p+b''&&q+c''&&r+d''&&s&{}+{}&.\!.\!.\!.\!.\!.{\text{etc.}}\end{alignedat}}$

et posons

${\begin{array}{l}{\begin{alignedat}{5}av&{}+{}&a'v'&{}+{}&a''v''&{}+{}&.\!.\!.\!.\!.\!.{\text{etc.}}&=\mathrm {P} \\bv&{}+{}&b'v'&{}+{}&b''v''&{}+{}&.\!.\!.\!.\!.\!.{\text{etc.}}&=\mathrm {Q} \\cv&{}+{}&c'v'&{}+{}&c''v''&{}+{}&.\!.\!.\!.\!.\!.{\text{etc.}}&=\mathrm {R} \\dv&{}+{}&d'v'&{}+{}&d''v''&{}+{}&.\!.\!.\!.\!.\!.{\text{etc.}}&=\mathrm {S} ,\end{alignedat}}\\\;{\text{etc}}.\!.\!.\!.\end{array}}$

Alors les $\nu$ équations de l’art. 177, d’après lesquelles doivent être déterminées les valeurs des quantités inconnues, seront les suivantes :

$\mathrm {P} =0,$$\mathrm {Q} =0,$$\mathrm {R} =0,$$\mathrm {S} =0,$ …… $\mathrm {etc.} ,$

pourvu que nous supposions les observations également bonnes ; cas auquel nous avons appris, dans l’article précédent, à ramener tous les autres. On a donc, autant d’équations linéaires qu’il y a d’inconnues à trouver ; les valeurs de ces inconnues seront obtenues par l’élimination ordinaire.

Voyons maintenant, si cette élimination est toujours possible, ou si la solution peut quelquefois devenir indéterminée, ou même impossible. On sait, d’après la théorie de l’élimination, que le second ou le troisième cas doit se présenter, quand une des équations

$\mathrm {P} =0,$$\mathrm {Q} =0,$$\mathrm {R} =0,$$\mathrm {S} =0,$ …… $\mathrm {etc.} ,$

étant omise, on peut, avec celles qui restent, en former une autre