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LIVRE II, SECTION III.
identique avec celle omise, ou qui lui soit contradictoire ; ou bien,
ce qui revient au même, quand on peut assigner une fonction linéaire
![{\displaystyle \alpha \mathrm {P} +\beta \mathrm {Q} +\gamma \mathrm {R} +\delta \mathrm {S} +{\text{… etc.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b56db9e078f9a96dd6886e2d463a69ecf9e1b87)
qui soit identiquement nulle, ou au moins libre de toutes les inconnues
etc. Supposons donc qu’on ait
![{\displaystyle \alpha \mathrm {P} +\beta \mathrm {Q} +\gamma \mathrm {R} +\delta \mathrm {S} +\ldots +{\text{etc.}}=\varkappa .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb71486ada86009807a1fb6745ec9bd6c00171c)
On a spontanément l’équation identique
![{\displaystyle (v+m)v+(v'\!+m')v'+(v''\!+m'')v''+\ldots \mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986769dd2e9de30a34901f07fbf7201a983600ea)
![{\displaystyle {}=p\mathrm {P} +q\mathrm {Q} +r\mathrm {R} +s\mathrm {S} +\ldots \mathrm {etc.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709e06fcffdfcc57fb58c15180353df98627e014)
Si donc, par les substitutions
![{\displaystyle s=\delta x,\,{\text{… etc.,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f43b7721d4b24c2b2b83376e045e71f1a48629cf)
nous supposons que les fonctions
deviennent respectivement
![{\displaystyle -m''+\lambda ''x,\,{\text{… etc.,}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/897038f44b19d5d37ac99ebb5c678c1a3eba99c1)
on aura évidemment l’équation identique
![{\displaystyle (\lambda ^{2}+\lambda '^{2}+\lambda ''^{2}+\ldots ..)x^{2}-(\lambda m+\lambda 'm'+\lambda ''m''+\ldots ..)x=\varkappa x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c7dd55c75c080e2f7925123cfe512e675e3e41c)
c’est-à-dire que l’on aura
![{\displaystyle \lambda ^{2}+\lambda '^{2}+\lambda ''^{2}+{\text{… etc. }}=0,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc0f13889fd6e11f228c3cd6042e94915a3d4fb6)
![{\displaystyle \quad \varkappa +\lambda m+\lambda 'm'+\lambda ''m''+{\text{… etc.}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec988c2afc26efc744b74f7abddb1b708548d36)
mais de là, on doit nécessairement avoir
Il est, d’après cela, évident que toutes les fonctions
doivent
être constituées de manière que leurs valeurs ne changent pas quand
les quantités
etc., acquièrent des accroissements ou des diminutions quelconques proportionnels aux nombres
etc. ;
mais nous avons déjà prévenu ci-dessus, que les cas de ce genre,
dans lesquels il est évident que la détermination des inconnues ne
serait plus alors possible, même si les véritables valeurs des fonctions
étaient données, n’appartiennent pas à ce sujet.
Enfin, nous pouvons facilement réduire au cas que nous venons de
considérer, tous ceux dans lesquels les fonctions
etc., ne
sont pas linéaires. En désignant en effet, par
etc., les