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LIVRE II, SECTION III.

identique avec celle omise, ou qui lui soit contradictoire ; ou bien, ce qui revient au même, quand on peut assigner une fonction linéaire

$\alpha \mathrm {P} +\beta \mathrm {Q} +\gamma \mathrm {R} +\delta \mathrm {S} +{\text{… etc.}},$

qui soit identiquement nulle, ou au moins libre de toutes les inconnues $p,$ $q,$ $r,$ $s\ldots$ etc. Supposons donc qu’on ait

$\alpha \mathrm {P} +\beta \mathrm {Q} +\gamma \mathrm {R} +\delta \mathrm {S} +\ldots +{\text{etc.}}=\varkappa .$

On a spontanément l’équation identique

$(v+m)v+(v'\!+m')v'+(v''\!+m'')v''+\ldots \mathrm {etc.}$${}=p\mathrm {P} +q\mathrm {Q} +r\mathrm {R} +s\mathrm {S} +\ldots \mathrm {etc.}$

Si donc, par les substitutions

$p=\alpha x,$$q=\beta x,$$r=\gamma x,$$s=\delta x,\,{\text{… etc.,}}$

nous supposons que les fonctions $v,$ $v',$ $v''\ldots$ deviennent respectivement

$-m+\lambda x,$$-m'+\lambda 'x,$$-m''+\lambda ''x,\,{\text{… etc.,}}$

on aura évidemment l’équation identique

$(\lambda ^{2}+\lambda '^{2}+\lambda ''^{2}+\ldots ..)x^{2}-(\lambda m+\lambda 'm'+\lambda ''m''+\ldots ..)x=\varkappa x,$

c’est-à-dire que l’on aura

$\lambda ^{2}+\lambda '^{2}+\lambda ''^{2}+{\text{… etc. }}=0,\quad$$\quad \varkappa +\lambda m+\lambda 'm'+\lambda ''m''+{\text{… etc.}}=0\,;$

mais de là, on doit nécessairement avoir

$\lambda =0,$$\lambda '=0,$$\lambda ''=0,$et aussi$\varkappa =0,$

Il est, d’après cela, évident que toutes les fonctions $\mathrm {V} ,$ $\mathrm {V} ',$ $\mathrm {V} ''$ doivent être constituées de manière que leurs valeurs ne changent pas quand les quantités $p,$ $q,$ $r,$ $s,\ldots$ etc., acquièrent des accroissements ou des diminutions quelconques proportionnels aux nombres $\alpha ,$ $\beta ,$ $\gamma ,$ $\delta ,\ldots$ etc. ; mais nous avons déjà prévenu ci-dessus, que les cas de ce genre, dans lesquels il est évident que la détermination des inconnues ne serait plus alors possible, même si les véritables valeurs des fonctions $\mathrm {V} ,$ $\mathrm {V} ',$ $\mathrm {V} ''$ étaient données, n’appartiennent pas à ce sujet.

Enfin, nous pouvons facilement réduire au cas que nous venons de considérer, tous ceux dans lesquels les fonctions $\mathrm {V} ,$ $\mathrm {V} ',$ $\mathrm {V} '',\ldots$ etc., ne sont pas linéaires. En désignant en effet, par $\pi ,$ $\chi ,$ $\rho ,$ $\sigma ,\ldots$ etc., les