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DÉTERMINATION D’UNE ORBITE SATISFAISANT À PLUSIEURS OBSERVATIONS.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

valeurs approchées des inconnues $p,$ $q,$ $r,$ $s,\ldots$ etc. (que nous obtenons facilement si parmi les $\mu$ équations $\mathrm {V} =\mathrm {M} ,$ $\mathrm {V} '\!=\mathrm {M} ',$ $\mathrm {V} ''\!=\mathrm {M} '',\ldots$ etc., nous en prenons seulement $\nu$), nous introduirons à la place des inconnues d’autres $p',$ $q',$ $r',$ $s',\ldots$ en posant $p=\pi +p',$ $q=\chi +q',$ $r=\rho +r',$ $s=\sigma +s',\ldots ,$ etc. ; il est évident que les valeurs de ces nouvelles inconnues seront si petites, que l’on pourra négliger leurs carrés et leurs produits, ce qui rendra les équations spontanément linéaires. Si, après le calcul achevé, les valeurs des inconnues $p',$ $q',$ $r',$ $s',$ paraissaient, contre l’attente, assez grandes pour qu’il semblât peu sûr d’avoir négligé leurs carrés et leurs produits, la répétition de la même opération (en prenant à la place de $\pi ,$ $\chi ,$ $\rho ,$ $\sigma ,\ldots$ etc., les valeurs corrigées de $p,$ $q,$ $r,$ $s,\ldots$ etc.) apporterait un prompt remède.

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Toutes les fois qu’on a seulement une inconnue unique $p,$ pour la détermination de laquelle les valeurs des fonctions $ap+n,$ $a'p+n',$ $a''p+n'',\ldots$ etc., ont été, à l’aide d’observations également exactes, trouvées respectivement égales à $\mathrm {M} ,$ $\mathrm {M} ',$ $\mathrm {M} '',\ldots$ etc., la valeur la plus probable de $p$ sera

${\frac {am+a'm'+a''m''+\ldots \,\mathrm {etc.} }{a^{2}+a'^{2}+a''^{2}+\ldots \,\mathrm {etc.} }}=\mathrm {A} ,$

en écrivant $m,\,m',\,m'',\ldots$ respectivement pour $\mathrm {M} -n,$ $\mathrm {M} '\!-n',$ $\mathrm {M} ''\!-n'',\ldots$ etc.

Pour estimer actuellement le degré de précision que l’on doit attribuer à cette valeur, supposons que la probabilité de l’erreur $\Delta ,$ dans les observations, soit exprimée par

${\frac {h}{\sqrt {\pi }}}e^{-h^{2}\Delta ^{2}}.$

De là, la probabilité que la véritable valeur de $p$ doit être $\mathrm {A} +p'$ sera proportionnelle à la fonction

$e^{-h^{2}[(ap-m)^{2}+(a'p-m')^{2}+(a''p-m')^{2}+\ldots ]}$

si $\Delta +p'$ est substitué à $p.$ L’exposant de cette fonction peut être ramené à la forme

$-h^{2}(a^{2}+a'^{2}+a''^{2}+\ldots \mathrm {etc.} )(p^{2}-2p\mathrm {A} +\mathrm {B} ),$