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DÉTERMINATION D’UNE ORBITE SATISFAISANT À PLUSIEURS OBSERVATIONS.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

d’où il est clair que la fonction $\mathrm {W} ''$ est indépendante à la fois de $p$ et de $q.$ Ceci n’aurait pas lieu si $\beta '$ pouvait devenir égal à zéro. Mais il est évident que $\mathrm {W} '$ se déduit de $v^{2}+v'^{2}+v''^{2}+\ldots$ etc., en faisant disparaître, au moyen de l’équation $p'=0,$ la quantité $p$ des expressions $v,$ $v',$ $v'',\ldots \,;$ par là, $\beta '$ sera la somme des coefficients de $q^{2}$ dans $v^{2},$ $v'^{2},$ $v''^{2}\ldots$ etc., après cette élimination ; mais chacun de ces coefficients est au carré, et ils ne peuvent tous s’évanouir à la fois, si ce n’est dans le cas exclu ci-dessus, dans lequel les inconnues restent indéterminées. Il est donc évident que $\beta '$ doit être une quantité positive.

III. En posant encore

${\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {W} ''}{dr}}=r'=\lambda ''+\gamma ''r+\delta ''s+\ldots \,\mathrm {etc.} ,$ et$\mathrm {W} ''-{\frac {r'^{2}}{\gamma ''}}=\mathrm {W} ''',$

nous aurons

$r'=\mathrm {R} -{\frac {\gamma }{\alpha }}p'-{\frac {\gamma '}{\beta '}}q',$

et $\mathrm {W} ''$ indépendant de $p,$ de $q$ et de $r.$ On prouverait au reste, de la même manière que dans II, que le coefficient $\gamma ''$ doit être nécessairement positif. On voit en effet facilement, que $\gamma ''$ est la somme des coefficients de $r^{2}$ dans $v^{2},$ $v'^{2},$ $v''^{2},\ldots$ etc., après qu’on a fait disparaître $p$ et $q$ de $v,$ $v',$ $v'',\ldots$ etc., au moyen des équations $p'\!=0,$ $q'\!=0.$

IV. En posant de la même manière

${\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {W} '''}{ds}}=s'=\lambda '''+\delta '''s+\ldots \,\mathrm {etc.} ,$ $\mathrm {W} ^{\mathrm {IV} }=\mathrm {W} '''-{\frac {s'^{2}}{\delta '''}},$

on aura

$s'=\mathrm {S} -{\frac {\delta }{\alpha }}p'-{\frac {\delta '}{\beta '}}q'-{\frac {\delta ''}{\gamma ''}}r',$

$\mathrm {W} ^{\mathrm {IV} }$ indépendant de $p,\,q,\,r,\,s,$ et $\delta '''$ une quantité positive.

V. De cette manière, si en outre de $p,\,q,\,r,\,s,$ il y a encore d’autres inconnues, on pourra continuer ainsi, de telle sorte qu’on ait enfin,

$\mathrm {W} ={\frac {1}{\alpha }}p'^{2}+{\frac {1}{\beta '}}q'^{2}+{\frac {1}{\gamma ''}}r'^{2}+{\frac {1}{\delta '''}}s'^{2}+\ldots \,\mathrm {etc.} +\mathrm {constante} ,$

expression dans laquelle tous les coefficients seront des quantités positives.