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NOTE III.

Si, au contraire, c’est le temps écoulé $t$ qui est connu, on aura l’anomalie vraie $v$ au moyen de l’équation du 3^e degré

$\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v+3\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\frac {t}{27,403895.q^{\frac {3}{2}}}}.$

Posons

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v=2\operatorname {cotang} 2\mathrm {A} \,;$

mais comme

$\operatorname {cotang} 2\mathrm {A} ={\frac {\cos ^{2}\mathrm {A} -\sin ^{2}\mathrm {A} }{2\sin \mathrm {A} \cos \mathrm {A} }}={\frac {\operatorname {cotang} \mathrm {A} -\operatorname {tang} \mathrm {A} }{2}},$

on a donc aussi,

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v=\operatorname {cotang} \mathrm {A} -\operatorname {tang} \mathrm {A} ,$

ou, en élevant au cube,

${\begin{aligned}&\operatorname {tang} ^{3}\!{\frac {1}{2}}v\\&=\operatorname {cotang} ^{3}\!\mathrm {A} -3\operatorname {cotang} ^{2}\!\mathrm {A} \operatorname {tang} \mathrm {A} +3\operatorname {cotang} \mathrm {A} \operatorname {tang} ^{2}\!\mathrm {A} -\operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} \\&=-3\operatorname {cotang} \mathrm {A} \operatorname {tang} \mathrm {A} (\operatorname {cotang} \mathrm {A} -\operatorname {tang} \mathrm {A} )+\operatorname {cotang} ^{3}\!\mathrm {A} -\operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} .\end{aligned}}$

Mais $\operatorname {cotang} \mathrm {A} \operatorname {tang} \mathrm {A} \!=\!1,$ et $\operatorname {cotang} \mathrm {A} \!-\!\operatorname {tang} \mathrm {A} \!=\!\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v\,;$ on a donc,

$\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v+3\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v=\operatorname {cotang} ^{3}\!\mathrm {A} -\operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} ,$

équation qui devient identique avec la proposée en posant

$\operatorname {cotang} ^{3}\!\mathrm {A} -\operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} ={\frac {t}{27,403895.q^{\frac {3}{2}}}}\,;$

mais en posant aussi

$\operatorname {cotang} \mathrm {A} ={\sqrt[{3}]{\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}\mathrm {B} }},$

$\mathrm {B}$ étant un autre arc auxiliaire, on déduit

$\operatorname {cotang} ^{3}\!\mathrm {A} =\operatorname {cotang} {\frac {1}{2}}\mathrm {B} ,$ et  $\operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} =\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {B} \,;$

et par suite ;

$\operatorname {cotang} ^{3}\!\mathrm {A} -\operatorname {tang} ^{3}\!\mathrm {A} =2\operatorname {cotang} \mathrm {B} \,;$