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NOTES DU TRADUCTEUR.

Note VI (art. 57)

Pour trouver les équations différentielles données dans ce paragraphe, considérons le triangle ${\text{☊ }}n{\text{☊′}}$ (fig. 2 du texte), dans ce triangle on a

$\cos i'=\cos \varepsilon \cos i+\sin \varepsilon \sin i\cos({\text{☊ }}-n),$

d’où en différentiant,

${\begin{aligned}-\sin i'\,di'&=-\sin \varepsilon \cos i\,d\varepsilon +\cos \varepsilon \sin i\cos({\text{☊ }}-n)\,d\varepsilon \\&-\sin \varepsilon \sin i\sin({\text{☊ }}-n)\,d({\text{☊ }}-n),\end{aligned}}$

ou

$di'=d\varepsilon \left({\frac {\sin \varepsilon \cos i}{\sin i'}}-{\frac {\cos \varepsilon \sin i\cos({\text{☊ }}-n)}{\sin i'}}\right)$${}+{\frac {\sin \varepsilon \sin i\sin({\text{☊ }}-n)}{\sin i'}}\,d({\text{☊ }}-n)$

mais on a

(m)

$\quad {\frac {\sin i}{\sin i'}}={\frac {\sin {\text{☊′}}}{\sin({\text{☊ }}-n)}},$  et

(n)

${\frac {\sin \Delta }{\sin({\text{☊ }}-n)}}={\frac {\sin \varepsilon }{\sin i'}}\,;\quad$

on a aussi

${\begin{aligned}\cos {\text{☊′}}&=\cos \Delta \cos({\text{☊ }}-n)-\sin \Delta \sin({\text{☊ }}-n)\cos i,\\\cos \Delta &=\cos({\text{☊′}})\cos({\text{☊ }}-n)+\sin {\text{☊′}}\sin({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon ,\end{aligned}}$

d’où

$\cos {\text{☊′}}\sin ^{2}\!({\text{☊ }}-n)=\sin {\text{☊′}}\sin({\text{☊ }}-n)\cos({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon$${}-\sin \Delta \sin({\text{☊ }}-n)\cos i$

ou

$\cos {\text{☊′}}={\frac {\sin {\text{☊′}}\cos({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon }{\sin({\text{☊ }}-n)}}-{\frac {\sin \Delta }{\sin({\text{☊ }}-n)}}\cos i,$

ou, en ayant égard aux relations (m) et (n)

$\cos {\text{☊′}}={\frac {\sin i\cos({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon }{\sin i'}}-{\frac {\sin \varepsilon \cos i}{\sin i'}}\,;$

l’équation différentielle précédente devient donc, en ayant égard, pour son second terme, à l’équation (m)

$di'=-\cos {\text{☊′}}\,d\varepsilon +\sin \varepsilon \sin {\text{☊′}}\,d({\text{☊ }}-n).$

Telle est la première équation de l’art. 57. Pour avoir les deux autres, le même triangle donne

$\sin {\text{☊′}}\sin i'=\sin i\sin({\text{☊ }}-n),$