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NOTES DU TRADUCTEUR.
Pour trouver les équations différentielles données dans ce paragraphe,
considérons le triangle
(fig. 2 du texte), dans ce triangle
on a
![{\displaystyle \cos i'=\cos \varepsilon \cos i+\sin \varepsilon \sin i\cos({\text{☊ }}-n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd6fe8156ab29470c05a17445f37adc7b1500a0)
d’où en différentiant,
![{\displaystyle {\begin{aligned}-\sin i'\,di'&=-\sin \varepsilon \cos i\,d\varepsilon +\cos \varepsilon \sin i\cos({\text{☊ }}-n)\,d\varepsilon \\&-\sin \varepsilon \sin i\sin({\text{☊ }}-n)\,d({\text{☊ }}-n),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fffc8bbf0a0812766869112d770d96200ccb973f)
ou
![{\displaystyle di'=d\varepsilon \left({\frac {\sin \varepsilon \cos i}{\sin i'}}-{\frac {\cos \varepsilon \sin i\cos({\text{☊ }}-n)}{\sin i'}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3617dcfcd6c3f525ce9a6c1bffd60824a048600e)
![{\displaystyle {}+{\frac {\sin \varepsilon \sin i\sin({\text{☊ }}-n)}{\sin i'}}\,d({\text{☊ }}-n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2d1857b4fb123d848a5fc6038038439ec111f0d)
mais on a
(m)
|
et
|
|
(n)
|
|
|
on a aussi
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\text{☊′}}&=\cos \Delta \cos({\text{☊ }}-n)-\sin \Delta \sin({\text{☊ }}-n)\cos i,\\\cos \Delta &=\cos({\text{☊′}})\cos({\text{☊ }}-n)+\sin {\text{☊′}}\sin({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b477be7be5272badd147e662a525c9aea162029d)
d’où
![{\displaystyle \cos {\text{☊′}}\sin ^{2}\!({\text{☊ }}-n)=\sin {\text{☊′}}\sin({\text{☊ }}-n)\cos({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb6b46727a4d9f259bf41df8129f519fd741f75a)
![{\displaystyle {}-\sin \Delta \sin({\text{☊ }}-n)\cos i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e9527cf0d29bd8d7524cc9cda55137100b7155b)
ou
![{\displaystyle \cos {\text{☊′}}={\frac {\sin {\text{☊′}}\cos({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon }{\sin({\text{☊ }}-n)}}-{\frac {\sin \Delta }{\sin({\text{☊ }}-n)}}\cos i,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad61d4b3512eaa08aba1bfcd6c2bcb25cd2de1b)
ou, en ayant égard aux relations (m) et (n)
![{\displaystyle \cos {\text{☊′}}={\frac {\sin i\cos({\text{☊ }}-n)\cos \varepsilon }{\sin i'}}-{\frac {\sin \varepsilon \cos i}{\sin i'}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edec4b6bac3c294b9c0ef6a7b56235e957ea9ad7)
l’équation différentielle précédente devient donc, en ayant égard,
pour son second terme, à l’équation (m)
![{\displaystyle di'=-\cos {\text{☊′}}\,d\varepsilon +\sin \varepsilon \sin {\text{☊′}}\,d({\text{☊ }}-n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b82eda19be377771ab642a819fa6b23db511960b)
Telle est la première équation de l’art. 57. Pour avoir les deux
autres, le même triangle donne
![{\displaystyle \sin {\text{☊′}}\sin i'=\sin i\sin({\text{☊ }}-n),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55bb1f63c8b6cc444d264068441e36b00a881fbc)