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NOTE VII.

(difficile de faire tenir certaines formules, voir la page de discussion)

On a aussi, dans le même art. 62, § II,

$\operatorname {tang} b={\frac {r'\operatorname {tang} \beta -\mathrm {R} '\operatorname {tang} \mathrm {B} }{\Delta '}}\,;$

mais des deux premières relations données dans cet article on déduit, en faisant $\mathrm {N} =\lambda ,$

${\begin{aligned}r'&=\Delta '\cos(l-\lambda )+\mathrm {R} '\cos(\lambda -\mathrm {L} )\\\Delta '&={\frac {\mathrm {R} '\sin(\lambda -\mathrm {L} )}{\sin(l-\lambda )}}.\end{aligned}}$

Ces valeurs, substituées dans l’expression de $\operatorname {tang} b,$ donnent

$\operatorname {tang} b$

${}={\frac {\operatorname {tang} \beta \sin(\lambda \!-\!\mathrm {L} )\cos(l\!-\!\lambda )+\operatorname {tang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )\sin(l\!-\!\lambda )}{\sin(\lambda -\mathrm {L} )}}$${}-{\frac {\operatorname {tang} \mathrm {B} \sin(l\!-\!\lambda )}{\sin(\lambda -\mathrm {L} )}}$

Si l’on développe $b$ suivant les puissances croissantes de $\mathrm {R} ,$ en remarquant que $l-\lambda$ est une fonction de $\mathrm {R}$ qui devient nulle pour $\mathrm {R} =0,$ on trouve

$b_{0}$	${}=\beta$
$\left({\frac {db}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}$	${}=\left[{\frac {\operatorname {tang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )}{\sin(\lambda \!-\!\mathrm {L} )}}\left({\frac {d(l\!-\!\lambda )}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}\right.$$\left.{}-{\frac {\operatorname {tang} \mathrm {B} }{\sin(\lambda \!-\!\mathrm {L} )}}\left({\frac {d(l\!-\!\lambda )}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}\right]\cos ^{2}\beta ,$

mais

$\left({\frac {d(l\!-\!\lambda )}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}={\frac {\cos \mathrm {B} \sin(\lambda \!-\!\mathrm {L} )}{r\cos \beta }}\,;$

on a donc

$\left({\frac {db}{d\mathrm {R} }}\right)_{0}=\left({\frac {\operatorname {tang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )\cos \mathrm {B} }{r\cos \beta }}-{\frac {\operatorname {tang} \mathrm {B} \cos \mathrm {B} }{r\cos \beta }}\right)\cos ^{2}\beta ,$

d’où

$b-\beta ={\frac {\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \cos \beta }{r}}{\big [}\operatorname {tang} \beta \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )-\operatorname {tang} \mathrm {B} {\big ]}.$

On a aussi, dans le même art. 62, § II,

${\frac {\Delta '}{r'}}={\frac {\mathrm {Q} }{\cos(l\!-\!\lambda )}}={\frac {r'-\mathrm {R} '\cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )}{r\cos(l\!-\!\lambda )}},$

d’où

(2)

$\Delta \cos b={\frac {r\cos \beta -\mathrm {R} \cos \mathrm {B} \cos(\lambda \!-\!\mathrm {L} )}{\cos(l\!-\!\lambda )}}.$

Développons $\Delta$ suivant les puissances croissantes de $\mathrm {R} ,$ et remar-