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NOTES DU TRADUCTEUR.

(impossible de faire tenir l’avant-dernier paragraphe, voir la page de discussion)

La pyramide $\mathrm {SAA'A} ''$ est égale au prisme tronqué $\mathrm {AA'A} ''aa''',$ augmenté de la pyramide $\mathrm {SAA} ''a''a$ et diminué des deux pyramides $\mathrm {SAA} 'a'a,$ $\mathrm {SA'A} ''a''a'.$

La valeur du prisme tronqué

{\begin{aligned}\mathrm {AA'A} ''a''a'a&={\frac {1}{3}}\operatorname {surf} aa'a''(\mathrm {A} a+\mathrm {A} 'a'+\mathrm {A} ''a'')\\&={\frac {1}{3}}\operatorname {surf} aa'a''(\sin \beta +\sin \beta '+\sin \beta ''),\end{aligned}}

mais

\operatorname {surf} aa'a''=\operatorname {triangle} \mathrm {S} aa'+\operatorname {triangle} \mathrm {S} a'a''-\operatorname {triangle} a\mathrm {S} a''\,;

or on a

\operatorname {triangle} \mathrm {S} aa'={\frac {\mathrm {S} a}{2}}.a'\mathrm {K}

$a'\mathrm {K}$ étant la hauteur du triangle ;

si l’on mène $\mathrm {D} 'a$ perpendiculaire à $\mathrm {SD} ,$ on aura

a'\mathrm {K} =\mathrm {D} 'a.\mathrm {S} a'=\sin(\alpha '-\alpha )\cos \beta ',

et par suite

\operatorname {triangle} \mathrm {S} aa'={\frac {\cos \beta }{2}}\cos \beta '\sin(\alpha '-\alpha )\,;

on aura donc, par analogie,

{\begin{aligned}\operatorname {surf} aa'a''&={\frac {\cos \beta \cos \beta '}{2}}\sin(\alpha '-\alpha )+{\frac {\cos \beta '\cos \beta ''}{2}}\sin(\alpha ''-\alpha ')\\&-{\frac {\cos \beta \cos \beta ''}{2}}\sin(\alpha ''-\alpha )\,;\end{aligned}}

donc

prisme tronqué	${}={\frac {1}{6}}{\big [}\cos \beta \cos \beta '\sin(\alpha '\!\!-\!\alpha )+\cos \beta '\cos \beta ''\sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha ')$
	$\quad \;\;-\cos \beta \cos \beta ''\sin(\alpha ''\!\!-\!\alpha ){\big ]}(\sin \beta +\sin \beta '+9\sin \beta '').$