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NOTE XIV.

et par analogie,

Pyramide $\mathrm {SA} a\mathrm {A} 'a'$	${}={\frac {1}{6}}(\sin \beta +\sin \beta ')\cos \beta \cos \beta '\sin(\alpha '\!-\alpha )$
Pyramide $\mathrm {SA'A} ''a''a'$	${}={\frac {1}{6}}(\sin \beta '\!+\sin \beta '')\cos \beta '\cos \beta ''\sin(\alpha ''\!-\alpha ')$'

En effectuant les produits et en faisant la somme algébrique indiquée, on obtiendra pour volume de la pyramide $\mathrm {SAA'A} '',$

${\begin{aligned}\sin \beta \cos \beta '\cos \beta ''&\sin(\alpha ''\!-\alpha ')-\sin \beta '\cos \beta \cos \beta ''\sin(\alpha ''\!-\alpha )\\+&\sin \beta ''\cos \beta \cos \beta '\sin(\alpha '\!-\alpha ),\end{aligned}}$

c’est-à-dire,

$\cos \beta \cos \beta '\cos \beta ''{\big [}\operatorname {tang} \beta \sin(\alpha ''\!-\alpha ')+\operatorname {tang} \beta '\sin(\alpha -\alpha '')$ ${}+\operatorname {tang} \beta ''\sin(\alpha '\!-\alpha ){\big ]}$

ou égal à

$\cos \beta \cos \beta '\cos \beta ''{\text{(0.1.2)}},$

ce qui démontre le théorème.

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Note XIV (art. 140 et 143).

L’équation de Gauss

$c\mathrm {Q} \sin \omega \sin ^{4}z=\sin(z-\omega -\sigma ),$

en posant

$c\mathrm {Q} \sin \omega =\mathrm {Q} ',$

et

$\omega +\sigma =\omega '$

devient

(1)

$\mathrm {Q} '\sin ^{4}z=\sin(z-\omega ').$

Nous considérerons $\mathrm {Q} '$ comme positif. Si dans une application numérique cette quantité était négative, on prendrait au lieu de $\omega ,$ qui est donné par une tangente, $\omega$±180.

Si l’on développe l’équation (1) de manière qu’elle ne contienne plus que des termes en $\sin z,$ on trouve

(2)

$\mathrm {Q} '^{2}\sin ^{8}z-2\mathrm {Q} '\cos \omega '\sin ^{5}z+\sin ^{2}z-\sin ^{2}\omega '=0,$

équation du huitième degré.