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MÉTHODE D’OLBERS.

(taches sur le fac-similé, voir la page de discussion)

Nous avons, dans le triangle $\mathrm {A} _{1}'a_{1}a,$ en supposant le plan de projection en $\mathrm {A} ,$

$\mathrm {A} _{1}'a_{1}=\rho \sin(\Theta '-\alpha )$

et, dans le triangle $\mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{1}'a_{1},$

$\mathrm {A} _{1}'a_{1}=\delta \cos b\,;$

on en déduit

$\rho ={\frac {\delta \cos b}{\sin(\Theta '-\alpha )}}.$

En supposant le plan de projection en $\mathrm {C} ,$ nous obtiendrons, par des triangles analogues,

$\rho ''={\frac {\mathrm {N} \delta \cos b''}{\sin(\Theta '-\alpha '')}}=\mathrm {M} \rho .$

Les triangles $\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}o$ et $d_{1}c_{1}o$ donnent

${\begin{aligned}\mathrm {C} _{1}o&={\frac {\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}\sin \mathrm {D} _{1}}{\sin(b''-b')}},&c_{1}o&={\frac {d_{1}c_{1}\sin d_{1}}{\sin(b''-b')}}\end{aligned}}$

on en déduit

$\mathrm {C} _{1}c_{1}={\frac {1}{\sin(b''-b')}}\left(\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}\sin \mathrm {D} _{1}+d_{1}c_{1}\sin d_{1}\right).$

Des deux triangles $\mathrm {A} _{1}\mathrm {MD} _{1}$ et $a_{1}\mathrm {M} d_{1},$ on obtient de même

$\mathrm {A} _{1}a_{1}={\frac {1}{\sin(b'-b)}}\left(\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}\sin \mathrm {D} _{1}+a_{1}d_{1}\sin d_{1}\right)$

on a par suite,

${\frac {\delta ''}{\delta }}=\mathrm {N} ={\frac {\sin(b'-b)}{\sin(b''-b')}}{\frac {\left(\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}\sin \mathrm {D} _{1}+d_{1}c_{1}\sin d_{1}\right)}{\left(\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}\sin \mathrm {D} _{1}+a_{1}d_{1}\sin d_{1}\right)}}\,;$

mais on a évidemment,

${\frac {\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}}{\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}}}={\frac {\mathrm {DC} }{\mathrm {AD} }},$  et  ${\frac {d_{1}c_{1}}{a_{1}d_{1}}}={\frac {dc}{ad}}$

et comme on a déjà

${\frac {\mathrm {DC} }{\mathrm {AD} }}={\frac {dc}{ad}}={\frac {t''}{t'}}$

il vient alors,

${\frac {\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}}{\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}}}={\frac {d_{1}c_{1}}{a_{1}d_{1}}}$

d’où

${\frac {\mathrm {D} _{1}\mathrm {C} _{1}\sin \mathrm {D} _{1}+d_{1}c_{1}\sin d_{1}}{\mathrm {A} _{1}\mathrm {D} _{1}\sin \mathrm {D} _{1}+a_{1}d_{1}\sin d_{1}}}={\frac {t''}{t'}}$