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MÉTHODE D’OLBERS.

il vient

(3)

$r^{2}=\mathrm {R} ^{2}+\rho ^{2}\sec ^{2}\beta -2\mathrm {R} \rho \cos(\Theta -\alpha ).$

Pour les autres positions de la comète on aura aussi, par analogie,

(4)

${\begin{alignedat}{9}r'^{2}&=\mathrm {R} '^{2}&{}+{}&\rho '^{2}&&\sec ^{2}&&\beta '&{}-{}&2\mathrm {R} '&&\rho '&&\cos(\Theta '-\alpha ')\\r''^{2}&=\mathrm {R} ''^{2}&{}+{}&\rho ''^{2}&&\sec ^{2}&&\beta ''&{}-{}&2\mathrm {R} ''&&\rho ''&&\cos(\Theta ''-\alpha '').\end{alignedat}}$

Soient actuellement, $\mathrm {SX',\,SY',\,SZ} '$ (fig. 11), trois axes de coordonnées rectangulaires passant par le Soleil ; imaginons aussi par la Terre $\mathrm {T} ,$ trois axes parallèles, prenons l’écliptique pour plan des $\mathrm {XY}$ et la ligne des équinoxes pour axe des $\mathrm {X} .$

Si $\mathrm {A}$ représente le premier lieu de la comète dans l’espace, nous aurons, en nommant $x,\,y,\,z$ ses trois coordonnées,

$x=ed=\mathrm {T} d-\mathrm {T} e,$$y=ki=\mathrm {T} i-\mathrm {T} k,$$z=\mathrm {AA} '\,;$

d’où

$x=\rho \cos \alpha -\mathrm {R} \cos \Theta ,$$y=\rho \sin \alpha -\mathrm {R} \sin \Theta ,$$z=\rho \operatorname {tang} \beta .$

Si $\mathrm {C}$ (fig. 11), représente le troisième lieu de la comète, on aura aussi,

$x''=\rho ''\cos \alpha -\mathrm {R} ''\cos \Theta '',$$y''=\rho ''\sin \alpha -\mathrm {R} ''\sin \Theta '',$$z''=\rho ''\operatorname {tang} \beta ''.$

En désignant la corde $\mathrm {AC}$ par $\mathrm {K} '',$ on aura

$\mathrm {K} ''^{2}=(x''-x)^{2}+(y''-y)^{2}+(z''-z)^{2},$

ou

$\mathrm {K} ''^{2}=r''^{2}+r^{2}-2xx''-2yy''-2zz'',$

en mettant à la place de $x,\,y,\,z,$ $x'',\,y'',\,z''$ les valeurs que nous venons de trouver, et en remplaçant $\rho ''$ par $\mathrm {M} \rho ,$ il vient

(5)

${\begin{aligned}\;\;\mathrm {K} ''^{2}&=r''^{2}+r^{2}-2\mathrm {RR} ''\cos(\Theta ''\!\!-\!\Theta )+2\rho \mathrm {R} ''\cos(\Theta ''\!\!-\!\alpha )\\+{}&2\rho \mathrm {MR} \cos(\Theta \!\!-\!\alpha '')-2\mathrm {M} \rho ^{2}\!\cos(\alpha ''\!\!-\!\alpha )-2\mathrm {M} \rho ^{2}\!\operatorname {tang} \beta \operatorname {tang} \beta ''.\end{aligned}}$

Nous avons trouvé dans la note III, en nous appuyant sur l’art. 18, la relation

$t=27^{\mathrm {jours} }\!,403895.\,q^{\frac {3}{2}}\left(\operatorname {tang} ^{3}{\frac {1}{2}}v+3\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v\right),$

dans laquelle $q$ est la distance périhélie et $v$ l’anomalie vraie.

Pour les deux époques $\mathrm {T}$ et $\mathrm {T} ''$ des observations extrêmes de la