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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.
Éliminant
de ces équations différentielles, nous obtenons
![{\displaystyle d\mathrm {M} ={\frac {\sin \mathrm {E} (1-\mathrm {E} \cos \mathrm {E} )}{\sin v}}dv-\left(\sin \mathrm {E} \cos \varphi +{\frac {\sin \mathrm {E} (1-e\cos \mathrm {E} )}{\cos \varphi }}\right)d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d08aded05ad981ff57af3eca9bf01aa188f320)
ou, en substituant à la place de
et de
leurs valeurs
tirées des équations VIII et III,
![{\displaystyle d\mathrm {M} ={\frac {r^{2}}{a^{2}\cos \varphi }}\,dv-{\frac {r(r+p)\sin v}{a^{2}\cos ^{2}\varphi }}\,d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39edebe4a129ec82f793494b8a8c5cab106f8df5)
ou enfin, en exprimant l’un et l’autre coefficient par
et
seulement
![{\displaystyle d\mathrm {M} ={\frac {\cos ^{2}\varphi }{(1+e\cos v)^{2}}}\,dv-{\frac {(2+e\cos v)\sin v\cos ^{2}\varphi }{(1+e\cos v)^{2}}}\,d\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/837b05474831318816394a31b78ca90fe5b061bf)
Réciproquement, en considérant
comme fonction des quantités
et
l’équation prend la forme suivante :
![{\displaystyle dv={\frac {a^{2}\cos \varphi }{r^{2}}}\,d\mathrm {M} +{\frac {(2+e\cos v)\sin v}{\cos \varphi }}\,d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26a73e34efcaa6dba39d1a18aa40e3f14cc164f3)
ou, en introduisant
à la place de ![{\displaystyle v,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7ba401aee0189f8031d21020a0c640a03339c9c)
![{\displaystyle dv={\frac {a^{2}\cos \varphi }{r^{2}}}\,d\mathrm {M} +{\frac {a^{2}}{r^{2}}}(2-e\cos \mathrm {E} -e^{2})\sin \mathrm {E} \,d\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e7f30c05fa8bd4823a831b9ffb89627ebaf923d)
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Le rayon vecteur n’est pas encore complètement déterminé au
moyen de
et de
ou de
et de
mais dépend en outre de
ou
de
sa différentielle se composera donc de trois parties.
En différentiant l’équation II art. 8, on trouve
![{\displaystyle {\frac {dr}{r}}={\frac {dp}{p}}+{\frac {e\sin v}{1+e\cos v}}\,dv-{\frac {\cos \varphi \cos v}{1+e\cos v}}\,d\varphi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82f9e8c6ee660f86171ad9c259a7d60878098815)
En ayant égard à
![{\displaystyle {\frac {dp}{p}}={\frac {da}{a}}-2\operatorname {tang} \varphi \,d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b659c66866d11110691e4468dcb045d59c7bc90a)
(qui résulte de l’équation I) et en exprimant, d’après l’article précédent,
en fonction de
et de
, on trouve, après toutes réductions,
![{\displaystyle {\frac {dr}{r}}={\frac {da}{a}}+{\frac {a}{r}}\operatorname {tang} \varphi \sin v\,d\mathrm {M} -{\frac {a}{r}}\cos \varphi \cos v\,d\varphi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6de932c391e5465aae7a697631dc118be093b1f0)