Page:Gauss - Théorie du mouvement des corps célestes, traduction Dubois, 1864.djvu/37

18

LIVRE I, SECTION I.

doit être préférée si l’on désire une précision extrême. On détermine d’abord $r$ par l’équation III et ensuite $v$ par l’équation X.

Voici notre exemple traité de cette manière :

$\log e............$	9,3897262		$\log \sin \mathrm {E} ..........$	9,7663366 $n$
$\log \cos \mathrm {E} ........$	9,9094637		$\log {\sqrt {1-{\overset {}{e}}\cos \mathrm {E} }}...$	9,9517744
	9,2991899			9,8145622 $n$
$e\cos \mathrm {E} =$	0,1991544		$\log \sin {\tfrac {1}{2}}\varphi .........$	9,0920395
			$\log \sin {\tfrac {1}{2}}(v-\mathrm {E} )...$	8,9066017
$\log a............$	0,4224389		${\tfrac {1}{2}}(v-\mathrm {E} )=-$ 4° 37′ 33,24″
$\log(1-e\cos \mathrm {E} )..$	9,9035488		$(v-\mathrm {E} )=-$ 9° 15′ 36,48″
$\log r............$	0,3259877		$v={}$ 315° 31′ 23,02″		.

Pour vérifier le calcul, la formule VIII ou la formule IX est très-commode, surtout si $v$ et $r$ ont été déterminés par la troisième méthode.

Voici le calcul :

$\log {\frac {a}{r}}\sin \mathrm {E} ....$	9,8627878 $n$		$\log \sin \mathrm {E} {\sqrt {\frac {\overset {}{a}}{r}}}....$	9,8145622 $n$	
$\log \cos \varphi ......$	9,9865224 $n$		$\log \cos {\tfrac {1}{2}}\varphi ........$	9,9966567
	9,8493102 $n$			9,8112189 $n$	
$\log \sin v.......$	9,8493102 $n$		$\log \sin {\tfrac {1}{2}}(\mathrm {E} +v)....$	9,8112189 $n$	

15

Puisque l’anomalie moyenne $\mathrm {M}$, d’après ce que nous venons de voir, doit être complètement déterminée à l’aide de $v$ et $\varphi$, de même que $v$ doit l’être au moyen de $\mathrm {M}$ et de $\varphi$, il ne sera pas superflu de rechercher, dans le cas où ces trois quantités sont considérées comme variables, l’équation de condition qui doit exister entre leurs variations différentielles.

En différentiant d’abord l’équation VII, art. 8, on obtient

${\frac {d\mathrm {E} }{\sin \mathrm {E} }}={\frac {dv}{\sin v}}-{\frac {d\varphi }{\cos \varphi }}$ ;

différentiant ensuite l’équation XII, on trouve

$d\mathrm {M} =(1-e\cos \mathrm {E} )\,d\mathrm {E} -\sin \mathrm {E} \cos \varphi \,d\varphi$.