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NOTES DU TRADUCTEUR.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Mais nous avons aussi, relativement à la corde $\mathrm {K} '',$

$\mathrm {K} ''^{2}=r^{2}+r''^{2}-2rr''\cos(v''\!-v)$

ou

$\mathrm {K} ''^{2}=\left(r+r''\right)^{2}\left(1-{\frac {4rr''\cos ^{2}\!{\dfrac {1}{2}}(v''\!-v)}{\left(r+r''\right)^{2}}}\right).$

Des deux relations

$\sin x=2\sin x\cos x\cos {\frac {1}{2}}(v''\!-v)$

et

$\operatorname {tang} z=\left({\frac {r}{r''}}\right)^{\frac {1}{2}},$

nous déduisons aussi,

$\sin x={\frac {2\left(rr''\right)^{\frac {1}{2}}\cos {\dfrac {1}{2}}(v''\!-v)}{r+r''}}\,;$

on a donc

$\mathrm {K} ''^{2}=(r+r'')^{2}(1-\sin ^{2}x)=(r+r'')^{2}\cos ^{2}x,$

et par suite, on obtient enfin la relation suivante, démontrée d’une autre manière par Gauss, dans l’art. 108,

(6)

$\mathrm {T} ''\!-\mathrm {T} =\mathrm {C} \left[\left({\frac {r+r''+\mathrm {K} ''}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}-\left({\frac {r+r''-\mathrm {K} ''}{2}}\right)^{\frac {3}{2}}\right].$

Cette formule, connue sous le nom de relation de Lambert, complète les équations à l’aide desquelles nous allons chercher la distance $\rho$ de la comète à la Terre, au moment de la première observation.

Récapitulons d’abord les six relations que nous venons de trouver.

Nous avons

(1)	$m={\frac {\operatorname {tang} \beta '}{\sin(\Theta '-\alpha ')}}\,;$
(2)	$\mathrm {M} ={\frac {t''}{t'}}.{\frac {m\sin(\Theta '-\alpha )-\operatorname {tang} \beta }{\operatorname {tang} \beta ''-m\sin(\Theta '-\alpha '')}}\,;$
(3)	$r^{2}=\mathrm {R} ^{2}-2\mathrm {R} \cos(\Theta -\alpha )\rho +\sec ^{2}\!\beta .\rho ^{2}\,;$
(4)	$r''^{2}=\mathrm {R} ''^{2}-2\mathrm {MR} ''\cos(\Theta ''-\alpha '')\rho +\sec ^{2}\!\beta ''.\mathrm {M} ^{2}\rho ^{2}\,;$
(5)	${\begin{aligned}&\mathrm {K} ''^{2}=r^{2}\!+r''^{2}\!-2\mathrm {RR} ''\cos(\Theta ''\!\!-\!\Theta )+2\mathrm {R} ''\!\cos(\Theta ''\!\!-\!\alpha )\rho \\+{}&2\mathrm {MR} \cos(\Theta \!-\!\alpha '')\rho -2\mathrm {M} \!\cos(\alpha ''\!\!-\!\alpha )\rho ^{2}-2\mathrm {M} \operatorname {tang} \beta \operatorname {tang} \beta ''\!\rho ^{2}\,;\end{aligned}}$