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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.

De là, on a ensuite,

$\sin \mathrm {E} ={\sqrt {1-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi }}={\frac {\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}}{\cos {\dfrac {1}{2}}\varphi }},$

de telle sorte que toute l’équation du centre, en ce point devient

$2\arcsin \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi +2\sin {\frac {1}{2}}\varphi {\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}},$

le second terme est exprimé en secondes.

Enfin, dans ce point où toute l’équation du centre est maximum on doit avoir $dv=d\mathrm {M} ,$ et même, d’après l’article 15, $r=a{\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}}\,;$ de là on obtient

${\begin{aligned}\cos v&=-{\frac {1-\cos ^{\frac {3}{2}}\varphi }{e}},\\\cos \mathrm {E} &=-{\frac {1-{\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}}}{e}}={\frac {1-\cos \varphi }{e(1+{\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}})}}={\frac {\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\varphi }{1+{\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}}}},\end{aligned}}$

formule à l’aide de laquelle on peut déterminer $\mathrm {E}$ avec la plus grande précision.

$\mathrm {E}$ étant déterminé, on aura, d’après les équations X et XII,

Équation du centre $=2\arcsin {\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}\varphi \sin \mathrm {E} }{\sqrt[{4}]{\cos {\overset {}{\varphi }}}}}+e\sin \mathrm {E} .$

Nous ne nous arrêterons pas ici, à l’expression du maximum de l’équation du centre en série développée suivant les puissances croissantes de l’excentricité, série que plusieurs auteurs ont donnée. Pour avoir un exemple, nous ajoutons un tableau des trois maxima que nous avons considérés, relativement à Junon dont l’excentricité, d’après les éléments les plus récents, est supposée égale à 0,2554996.

MAXIMUM.	$\mathrm {E}$	$\mathrm {E-M}$	$v-\mathrm {E}$	$v-\mathrm {M}$
$\mathrm {E-M}$	90° 00′ 00″	14° 38′ 20,57″	14° 48′ 11,48″	29° 26′ 32,05″
$v-\mathrm {E}$	82° 32′ 09″	14° 30′ 54,01″	14° 55′ 41,79″	29° 26′ 35,80″
$v-\mathrm {M}$	86° 14′ 40″	14° 36′ 27,39″	14° 53′ 49,57″	29° 30′ 16,96″

et le périhélie, car il est évident, d’après ce qu’on a vu, qu’ils diffèrent seulement par le signe, de ceux situés entre le périhélie et l’aphélie.