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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.
De là, on a ensuite,
![{\displaystyle \sin \mathrm {E} ={\sqrt {1-\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\varphi }}={\frac {\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}}{\cos {\dfrac {1}{2}}\varphi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c48d0dd510460d6b3417a31f26503f64c5223bc)
de telle sorte que toute l’équation du centre, en ce point devient
![{\displaystyle 2\arcsin \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\varphi +2\sin {\frac {1}{2}}\varphi {\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a94361d9a1be7ef16b3c8a300cb90a4cde8bed8)
le second terme est exprimé en secondes.
Enfin, dans ce point où toute l’équation du centre est maximum
on doit avoir
et même, d’après l’article 15,
de là on obtient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos v&=-{\frac {1-\cos ^{\frac {3}{2}}\varphi }{e}},\\\cos \mathrm {E} &=-{\frac {1-{\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}}}{e}}={\frac {1-\cos \varphi }{e(1+{\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}})}}={\frac {\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\varphi }{1+{\sqrt {\cos {\overset {}{\varphi }}}}}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8255bd76b42e313c73cfe5ce4c6dd9f29ae69ba0)
formule à l’aide de laquelle on peut déterminer
avec la plus
grande précision.
étant déterminé, on aura, d’après les équations X et XII,
Équation du centre
![{\displaystyle =2\arcsin {\frac {\sin {\dfrac {1}{2}}\varphi \sin \mathrm {E} }{\sqrt[{4}]{\cos {\overset {}{\varphi }}}}}+e\sin \mathrm {E} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95412a560e94530714670823b0c5d6736b79a22f)
Nous ne nous arrêterons pas ici, à l’expression du maximum de
l’équation du centre en série développée suivant les puissances croissantes de l’excentricité, série que plusieurs auteurs ont donnée. Pour
avoir un exemple, nous ajoutons un tableau des trois maxima que
nous avons considérés, relativement à Junon dont l’excentricité, d’après les éléments les plus récents, est supposée égale à 0,2554996.
MAXIMUM.
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90° 00′ 00″
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14° 38′ 20,57″
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14° 48′ 11,48″
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29° 26′ 32,05″
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82° 32′ 09″
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14° 30′ 54,01″
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14° 55′ 41,79″
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29° 26′ 35,80″
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86° 14′ 40″
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14° 36′ 27,39″
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14° 53′ 49,57″
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29° 30′ 16,96″
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et le périhélie, car il est évident, d’après ce qu’on a vu, qu’ils diffèrent seulement par
le signe, de ceux situés entre le périhélie et l’aphélie.