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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.

On déduit de là

$dr={\frac {1}{2}}\cos v\,dp+{\frac {k\sin v}{\sqrt {\overset {}{p}}}}\,dt,$

ou, en introduisant $q$ à la place de $p,$

$dr=\cos v\,dq+{\frac {k\sin v}{\sqrt {2q}}}\,dt.$

Le logarithme constant à employer ici est

$\log k{\sqrt {\frac {1}{2}}}=8,0850664436.$

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Dans l’Hyperbole, $\varphi$ et $\mathrm {E}$ deviennent des quantités imaginaires ; si nous voulons les éviter, il faut introduire à leur place d’autres quantités auxiliaires. Nous avons déjà désigné par $\psi$ l’angle dont le cosinus $={\frac {1}{e}}$ et nous avons trouvé le rayon vecteur

$r={\frac {p}{2e\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )}}.$

Les facteurs $\cos {\frac {1}{2}}(v-\psi )$ et $\cos {\frac {1}{2}}(v+\psi )$ du dénominateur de cette fraction deviennent égaux pour $v=0,$ le second s’annule pour la valeur maximum positive de $v$, et le premier pour la valeur maximum négative.

En posant donc ${\frac {\cos {\dfrac {1}{2}}(v-\psi )}{\cos {\dfrac {1}{2}}(v+\psi )}}=u,$ on aura $u=1$ au périhélie ; il croîtra vers l’infini à mesure que $v$ approchera de sa limite $180^{\circ }-\psi ,$ et décroîtra au contraire indéfiniment, à mesure que $v$ s’approchera de son autre limite $-(180^{\circ }-\psi )\,;$ de manière qu’aux mêmes valeurs opposées de $v$ répondent des valeurs réciproques de $u,$ ou, ce qui est la même chose, telles que leurs logarithmes sont complémentaires.

Ce quotient $u$ est fort utilement employé comme quantité auxi-