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LIVRE I, SECTION I.

on trouve

${\frac {dv}{2\cos ^{4}{\dfrac {1}{2}}v}}=2kp^{-{\frac {3}{2}}}\,dt-3tkp^{-{\frac {5}{2}}}\,dp,$

ou

$dv={\frac {k{\sqrt {\overset {}{p}}}}{r^{2}}}\,dt-{\frac {3tk}{2r^{2}{\sqrt {\overset {}{p}}}}}\,dp.$

Si l’on veut exprimer, en secondes, les variations de l’anomalie vraie $v,$ les deux termes de $dv$ devant aussi être exprimés de la même manière, on devra prendre pour $k$ la valeur $3548''\!,188$ donnée dans l’art. 6. Si à la place de $p$ on introduit en outre ${\frac {1}{2}}p=q$ la formule devient alors

$dv={\frac {k{\sqrt {2{\overset {}{q}}}}}{r^{2}}}\,dt-{\frac {3kt}{r^{2}{\sqrt {2{\overset {}{q}}}}}}\,dq.$

dans laquelle les logarithmes constants dont on devra faire usage, sont $\log k{\sqrt {2}}=3,7005215724,$ et $\log 3k{\sqrt {\frac {1}{2}}}=3,8766128315.$

La différentiation de l’équation $r={\frac {p}{2\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}$ fournit ensuite,

${\frac {dr}{r}}={\frac {dp}{p}}+\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v\,dv,$

ou, en exprimant $dv$ en fonction de $dt$ et de $dp,$

${\frac {dr}{r}}=\left({\frac {1}{p}}-{\frac {3kt\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}v}{2r^{2}{\sqrt {\overset {}{p}}}}}\right)dp+{\frac {k{\sqrt {\overset {}{p}}}\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}v}{r^{2}}}\,dt.$

En substituant à $t$ sa valeur en fonction de $v$, le coefficient de $dp$ se change en

${\begin{aligned}{\frac {1}{p}}-{\frac {3p\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v}{4r^{2}}}&-{\frac {p\operatorname {tang} ^{4}{\frac {1}{2}}v}{4r^{2}}}={\frac {1}{r}}\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v-{\frac {3}{2}}\sin ^{2}{\frac {1}{2}}v\right.\\&-\left.{\frac {1}{2}}v\sin ^{2}{\frac {1}{2}}v\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}v\right)={\frac {\cos v}{2r}}\,;\end{aligned}}$

mais le coefficient de $dt$ devient $={\frac {k\sin v}{r{\sqrt {\overset {}{p}}}}}.$