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RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ORBITE.

seulement $\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {E}$ ou plutôt $\log \operatorname {tang} {\frac {1}{2}}\mathrm {E}$, on pourrait facilement réunir cette opération à la seconde si notre table fournissait immédiatement le logarithme de la quantité ${\frac {\operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{\sqrt {\mathrm {A} }}}$ qui diffère de l’unité d’une quantité du second ordre. Nous avons préféré cependant disposer notre table d’une manière quelque peu différente à l’aide de laquelle, quoique ayant moins d’extension, nous pourrons interpoler d’une manière beaucoup plus commode. En écrivant, par abréviation, $\mathrm {T}$ à la place de $\operatorname {tang} ^{2}{\frac {1}{2}}\mathrm {E}$, la valeur de $\mathrm {A} ={\frac {15(\mathrm {E} -\sin \mathrm {E} )}{9\mathrm {E} +\sin \mathrm {E} }}$ donnée dans l’article 37, se change facilement, en

$\mathrm {A} ={\frac {\mathrm {T} -{\dfrac {6}{5}}\mathrm {T} ^{2}+{\dfrac {9}{7}}\mathrm {T} ^{3}-{\dfrac {12}{9}}\mathrm {T} ^{4}+{\dfrac {15}{11}}\mathrm {T} ^{5}-\dots \mathrm {etc.} }{1-{\dfrac {6}{15}}\mathrm {T} +{\dfrac {7}{25}}\mathrm {T} ^{2}-{\dfrac {8}{35}}\mathrm {T} ^{3}+{\dfrac {9}{45}}\mathrm {T} ^{4}-\dots \mathrm {etc.} }}$

dans laquelle la loi de formation des termes est facile.

En développant en séries, on déduit de là

${\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {T} }}=1\!-\!{\frac {4}{5}}\mathrm {A} \!+\!{\frac {8}{175}}\mathrm {A} ^{2}\!+\!{\frac {8}{525}}\mathrm {A} ^{3}\!+\!{\frac {1896}{336875}}\mathrm {A} ^{4}\!+\!{\frac {28744}{13138125}}\mathrm {A} ^{5}\!+\!\dots \mathrm {etc.}$

En posant donc, ${\frac {\mathrm {A} }{\mathrm {T} }}=1-{\frac {h}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C}$, $\mathrm {C}$ sera une quantité du quatrième ordre, laquelle est contenue dans notre table ; nous pourrons immédiatement passer de $\mathrm {A}$ à $v$ par la formule,

$\operatorname {tang} {\frac {1}{2}}v={\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}.{\sqrt {\frac {\mathrm {A} }{1-{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} }}}={\frac {\gamma \operatorname {tang} {\dfrac {1}{2}}w}{\sqrt {\left(1-{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} \right)}}}$

en désignant par $\gamma$ la constante ${\sqrt {\frac {5+5e}{1+9e}}}$. De cette manière nous obtenons en même temps une formule très-commode pour le rayon vecteur. On trouve en effet (art. 8, VI),

$r={\frac {q\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}\mathrm {E} }{\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}={\frac {q}{(1+\mathrm {T} )\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}={\frac {\left(1-{\dfrac {4}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} \right)q}{\left(1+{\dfrac {1}{5}}\mathrm {A} +\mathrm {C} \right)\cos ^{2}{\dfrac {1}{2}}v}}$.