Page:Gauss - Théorie du mouvement des corps célestes, traduction Dubois, 1864.djvu/88

69

RELATIONS CONCERNANT UNE SEULE POSITION DANS L’ESPACE.

et ${\frac {1}{2}}({\text{☊ }}'-\Delta )$ entre 0° et 180° ou entre 180° et 360°, sera levée par la considération que non-seulement $\sin {\frac {1}{2}}i',$ mais encore $\cos {\frac {1}{2}}i'$ doit être positif puisque par la nature des choses $i'$ doit toujours être plus petit que 180°.

56

Il ne sera pas inutile d’éclaircir par un exemple les principes précédents. Soient ${\text{☊ }}=172^{\circ }\,28'\,13''\!,7,$ $i=34^{\circ }\,38'\,1''\!,1\,;$ soit ensuite un nouveau plan parallèle à l’équateur, et par suite, $n=180^{\circ }\,;$ nous posons l’angle $\varepsilon ,$ qui sera l’obliquité de l’écliptique $=23^{\circ }\,27'\,55''\!,8.$

Nous avons d’après cela,

${\text{☊ }}-n=-$07° 31′ 46,3″		${\tfrac {1}{2}}({\text{☊ }}-n)=-$03° 45′ 53,15″
$i+\varepsilon =\quad$58° 05′ 56,9″		${\tfrac {1}{2}}(i+\varepsilon )=\quad$29° 02′ 58,45″
$i-\varepsilon =\quad$11° 10′ 05,3″		${\tfrac {1}{2}}(i-\varepsilon )=\quad$05° 35′ 02,65″
$\log \sin {\tfrac {1}{2}}({\text{☊ }}-n).....$	8,8173026$n$		$\log \cos {\tfrac {1}{2}}({\text{☊ }}-n).....$	9,9990618
$\log \sin {\tfrac {1}{2}}(i+\varepsilon )\,......$	9,6862484		$\log \sin {\tfrac {1}{2}}(i+\varepsilon )\,......$	8,9881405
$\log \cos {\tfrac {1}{2}}(i+\varepsilon )......$	9,9416108		$\log \cos {\tfrac {1}{2}}(i+\varepsilon )......$	9,9979342

De là on a

$\log \sin {\tfrac {1}{2}}i'\sin {\tfrac {1}{2}}({\text{☊ }}'+\Delta )\,.$	8,5035510$n$		$\log \cos {\tfrac {1}{2}}i'\sin {\tfrac {1}{2}}({\text{☊ }}'-\Delta )\,.$	8,7589134$n$
$\log \sin {\tfrac {1}{2}}i'\cos {\tfrac {1}{2}}({\text{☊ }}'+\Delta )\,.$	8,9872023		$\log \cos {\tfrac {1}{2}}i'\cos {\tfrac {1}{2}}({\text{☊ }}'-\Delta ).$	9,9969960
d’où $\qquad {\tfrac {1}{2}}({\text{☊ }}'+\Delta )={}$341° 49′ 19,01″			d’où $\qquad {\tfrac {1}{2}}({\text{☊ }}'+\Delta )={}$356° 41′ 31,43″
$\log \sin {\tfrac {1}{2}}i'...............$	9,0094368		$\log \cos {\tfrac {1}{2}}i'...............$	9,9977202

Nous obtenons ainsi

${\begin{alignedat}{9}{\frac {1}{2}}i'&=&5^{\circ }&\,51'\,56''\!,445,\qquad &i'&=&11^{\circ }&\,43'\,52''\!,89,\\{\text{☊ }}'&={}&338^{\circ }&\,30'\,50''\!,43,&\Delta &=&-14^{\circ }&\,52'\,12''\!,42.\end{alignedat}}$

Du reste le point $n$ correspond évidemment dans la sphère céleste à l’équinoxe d’automne ; c’est pourquoi, la distance sur l’équateur du nœud ascendant de l’orbite à l’équinoxe vernal (son ascension droite) sera $158^{\circ }\,30'\,50''\!,43.$

Afin d’éclaircir l’article 53, nous continuerons encore plus loin cet exemple et nous développerons les formules relatives aux coordonnées qui se rapportent aux trois plans passant par le Soleil, dont un est supposé parallèle à l’équateur et les pôles positifs des deux