856 ; ils n’avaient pas le droit de monter à cheval, ils ne pouvaient sortir que sur des ânes ou des mulets (853-854). S’ils achetaient une maison, ils étaient contraints de payer au khalife le dixième de sa valeur. L’exilarcat aussi avait perdu de son importance ; depuis qu’à la suite d’un décret d’Almamoun, les exilarques n’étaient plus reconnus par le khalife, ils ne possédaient plus ni caractère officiel ni autorité politique.
Pendant que l’exilarcat déclinait, l’académie de Pumbadita, voisine de Bagdad, la capitale des khalifes, grandissait en considération et devenait l’égale de l’école de Sora ; ses chefs purent porter officiellement le titre de gaon. Autrefois, le chef de l’école de Pumbadita était tenu de se rendre chaque année, accompagné de son Collège, à la résidence de l’exilarque pour lui présenter ses hommages, et maintenant le prince de l’exil ne pouvait plus tenir ses réunions qu’à Pumbadita. L’académie de cette ville était probablement redevable de cette heureuse transformation à son chef Paltoï ben Abbaï, homme actif et d’humeur batailleuse, qui ouvrit la série des gaonim remuants et ambitieux. Ces fonctionnaires, qui exigeaient l’observation stricte et rigoureuse de toutes les pratiques religieuses, se montraient aussi très sévères dans les questions de morale. Interrogé si un Juif peut voler un non Juif dans le cas où il n’en résulterait aucun inconvénient pour le judaïsme, le gaon Mar Sar-Schalom (849-859) répondit avec colère qu’un tel acte était sévèrement condamné par le Talmud, et qu’il n’était pas permis d’agir autrement à l’égard d’un étranger qu’envers un coreligionnaire. À côté de cette morale austère, les gaonim avaient des conceptions religieuses très étroites et des croyances superstitieuses. Ce même gaon Sar-Schalom était fermement convaincu que de mauvais génies s’attachaient aux pas de celui qui accompagnait un convoi funèbre, et son contemporain Natronaï II (859-869), gaon de Sora, déclarait hérétiques, passibles de l’excommunication et exclus du temple tous ceux qui transgresseraient la moindre prescription talmudique.
Les académies de Sora et de Pumbadita se restreignaient à l’enseignement talmudique, elles négligeaient toute autre étude et considéraient comme entachés de caraïsme ceux qui se consacraient
