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Il est démontré aussi dans l’article cité, que tout cercle tangent aux cercles $X$ et $Y$, a ses deux points de contact placés sur une droite qui passe par le point $O$, dans les deux cas où il laisse entièrement hors de sa circonférence, ou qu’il renferme à-la-fois les deux cercles $X$ et $Y$. Il suit de là et de ce que j’ai démontré plus haut, que le cercle tangent aux cercles $X$ et $Y$, et qui passe par le point $A$, passe aussi par le point $B$. Ainsi le problême dont il s’agit se trouve ramené à celui-ci : Par deux points $A$ et $B$, mener un cercle qui touche le cercle $X$ ou $Y$.

Comme ce dernier problême est susceptible de deux solutions, il est bon de faire voir que celle qui correspond au cas où le cercle est touché extérieurement, appartient aussi au cercle qui, passant par le point $A$, toucheroit extérieurement les cercles $X$ et $Y$.

Pour le démontrer, il suffit de faire voir que toit cercle passant par le point $A$ et par deux points $p$ et $p'$, où une sécante quelconque $Ot$ vient couper extérieurement les cercles $X$ et $Y$, passera aussi par le même point $B$ ; car alors le cercle qui passe par le point $A$, et qui touche extérieurement les cercles $X$ et $Y$, ayant ses points de contact dans la direction du point $O$, passera évidemment par les points $A$ et $B$. Or, on voit sans peine^[1] que $OT\times OT'=Op\times Op'$ ; donc, d’après l’équation⁽¹⁾,

$Op\times Op'=AO\times OB$.

Cette équation prouve que les points $A$, $B$, $p$, $p'$, sont placés sur la même circonférence de cercle.

Voici maintenant comment ou achevera la solution du problême : Ayant tracé le cercle $ATT'$, ainsi que je l’ai dit, on menera la corde $lT$ qui coupera $AO$ en un point $P$. Par ce point on menera les tangentes $Pm$, $Pm'$, au cercle $X$ ; et les points $m$ et $m'$ de contact seront les points de tangence des cercles cherchés, dont l’un touche intérieurement, et l’autre extérieurement, le cercle $X$. En effet, on a

$Pm^{2}=Pl\times PT$ ;

or $Pl\times PT=PB\times PA$ ;

donc $Pm^{2}=PB\times PA$.

Cette dernière équation prouve évidemment que le cercle qui

1. Il suffit de comparer chacun des produits $OT\times OT'$, $Op\times Op'$, au produit qu’on obtiendroit pour la tangente commune aux cercles $X$ et $Y$.