doit faire acquérir à leurs premiers membres un diviseur commun ; et vice versâ, toute valeur de qui fait acquérir un commun diviseur aux deux premiers membres, est habile à former une solution de ces deux équations[1].
Il est démontré que tout diviseur commun à deux polynômes doit diviser le reste de leur division, et que tout diviseur commun au diviseur et au reste d’une division, doit diviser le dividende (**). Ordonnons et par rapport à ; supposons que soit, par rapport à cette inconnue, d’un degré plus élevé que ; divisons par , et arrêtons l’opération au reste , que l’on ne peut plus diviser sans prendre des fractions au quotient. D’après le principe que nous venons de rappeler, il est évident que toute valeur 3 de , qui fait acquérir un facteur commun à et , doit le faire acquérir au reste ; et toute valeur ß de , qui fait acquérir à et à un diviseur commun, doit aussi le faire acquérir à . Donc, , ont les mêmes solutions que les équations , (***).
Supposons qu’en ne prenant au quotient que des termes entiers, on arrive à un reste R qui soit, en x, d’un degré moindre que B ; B = 0, R = peuvent être traitées à leur tour comme les pro posées. Soit R’le reste de la division de B par R, on substituera R =0, R = 0, aux dernières équations.
c’est par (*). (**) Cette proposition n’a plus de sens dès que le diviseur et le reste ne sont pas entiers. Ce n’est donc pas pour éviter les fractions, qu’on sup ; prime ou qu’on introduit des facteurs dans la recherche du plus grand commun diviseur ; Décessité. (***) Il est facile de démontrer directement cette proposition. Désignons par le quotient de la division, l’on aura 4 = BQ + R. D’où l’on copclat que toute solution de A = 0, B = 0, doit rendre R = 0 ; et toute solution de B=0, et R=0, doit résoudre A = 0. On doit remarquer que cette conséquence seroit infirmée, si étoit A BA fractionnaire de la forme K" En effet, l’on auroit alors A= +R. K Supposons que des valeurs de x et de y rendent 450, B = o, il pourroit BH se faire qu’elles rendissent aussi K = 0 ; alors deviendroit K pourroit avoir une valeur finie ou infinie: donc on ne pourroit plus conclure R=0. C’est de cette manière que j’ai d’abord démontré cette proposition pour rectifier la théorie de l’élimination; mais il est mieux de la tirer de la propriété qui fait trouver le plus grand commun diviseur, et de lier ainsi deux théories entr’elles. O et
- ↑ Cette conséquence très — simple est le principe fondamental de la théorie de l’abaissement des équations ; et sans changer tout-à-fait cette dernière, l’on ne sauroit le supprimer des élémens.
