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de cette équation, au moins une racine réelle de $\alpha$ ; à cette valeur réelle de a correspond une autre valeur réelle de $\alpha '$, donnée par la première des équations $(5)$. Substituant ces valeurs réelles de « et al dans l’équation $(4)$, on a l’équation d’un plan diamétral perpendiculaire à toutes les cordes parallèles à la droite des équations $(2)$ ; la surface du second de gré étant rapportée à ce plan diamétral, comme l’un des plans coordonnés, son équation sera évidemment de la forme :

$a'x^{2}+b'y^{2}+c'.z^{2}+d'xy+g'x+h'y+1=0.$

Changeant les coordonnées rectangulaires $x$, $y$ en d’autres coordonnées rectangulaires $x'$, $y'$, par les formules connues $x=x'\sin \phi -y'cos\varphi ,y=x\cos \varphi +y'\sin \phi$, on trouve $\tan(2\phi )={\frac {d'}{a'-b'}},$ valeur réelle d’après laquelle les axes des $(x')$ et des $(y')$ deviennent les axes rectangulaires de la surface du deuxième degré, conjugués à l’axe déterminé par la racine réelle de $\alpha$, qui est donnée nécessairement par l’équation du troisième degré en $\alpha$.

Enfin, on sait qu’en changeant l’origine des coordonnées, on peut faire disparoître les termes de première dimension par rapport aux variables ; donc l’équation générale des surfaces du second degré qui ont un centre, sera réduite à la forme

$Lx^{2}+My^{2}+Nz^{2}-1=0$

$x$, $y$, $z$ étant des coordonnées rectangulaires.

H. C.

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Question de Géométrie ;

Par M. Baduel, ancien Elève de l’Ecole Polytechnique, Ingénieur des Ponts et Chaussées.

Étant donné un triangle quelconque, $abc$ (fig.2, pl. 1), déterminer quelle doit être l’inclinaison de son plan et la position de ses côtés, pour que sa projection sur un plan horizontal soit un triangle équilatéral ?

Quel que soit le triangle donne $(a)$, s’il n’est pas équilatéral il aura au moins un angle au-dessous de 60 degrés : soit $a$ (fig. 2) cet angle. Je prends pour intersection du plan du triangle avec le plan de projection, la ligne $yz$ (fig.2.), et sur la partie $mn$ de cette ligne, je décris un arc capable de l’angle $a$. Le sommet