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tions, on élimine ces dernières quantités $\beta$ et $\beta '$, l’équation résultante en $X'$, $Y'$, $Z'$, qu’on peut désigner par les trois lettres $x$, $y$, $z$, appartiendra à la surface qui passe par les centres de toutes les cordes parallèles à la droite des équations $(2)$.

Les équations $(3)$ donnent :

$\beta =x-\alpha ax.$

$\beta '=y-\alpha 'ax.$

$-2Ax=\beta (2a\alpha +d\alpha '+f)+\beta '(2b\alpha '+d\alpha +e)+g\alpha +h\alpha '+k.$

substituant pour $\beta$, $\beta '$ et $A$ leurs valeurs, on a,

$(x-\alpha z)(2a\alpha +d\alpha '+f)+(y-\alpha 'z)(2b\alpha '+d\alpha +e)+z(2a\alpha ^{2}+2b\alpha ^{2}+2d\alpha \alpha '+2fa+2c)+g\alpha +h\alpha '+k=0.$

réduisant

$(4)x(2a\alpha +d\alpha '+f)+y(2b\beta '+d\alpha +e)+z(e\alpha '+fa+2c)+g\alpha +h\alpha '+k=0$

Cette équation linéaire est celle d’un plan diametral qui passe par les milieux de toutes les cordes parallèles à la droite des équations $(2)$.

Pour que ce plan soit perpendiculaire aux cordes, il faut qu’il soit parallèle au plan dont l’équation est :

$\alpha x+\alpha 'y+\alpha =0.$

Donc on aura les équations de condition.

$(5)\alpha ={\frac {2a\alpha +d\alpha '+f}{e\alpha '+f\alpha +2c}},$ $\alpha '={\frac {2b\alpha '+d\alpha +e}{e\alpha '+f\alpha +2c}}$

ces équations $(5)$ sont linéaires, l’une par rapport à $\alpha '$, et l’autre par rapport à $\alpha$ ; éliminant l’une ou l’autre, $\alpha '$ par exemple, on aura :

$\alpha '={\frac {f+2a(a-c)-f\alpha ^{2}}{e\alpha -d.}},$

$e\alpha '^{2}+\alpha '(f\alpha +2c-2b)-(d\alpha +c)=0.$

mettant dans cette dernière équation pour $\alpha '$, sa valeur, et observant que le terme du 4^e degré $ef^{2}\alpha ^{4}$ se détruit, l’équation réduite en $\alpha$, est du 3^e degré ; ce qui prouve que la surface du second degré ne peut avoir que trois axes rectangulaires ; on tire