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CHAPITRE III.

d’une façon plus générale les solutions périodiques des équations de la Dynamique.

Reprenons les équations du n^o 13,

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

et les hypothèses de ce numéro. La fonction $\mathrm {F}$ est développée suivant les puissances d’un paramètre très petit $\mu ,$ de sorte que

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\dots \,;$

$\mathrm {F}$ est fonction périodique des $y,$ $\mathrm {F} _{0}$ est fonction des $x$ seulement. Je supposerai, pour fixer les idées, qu’il n’y a que 3 degrés de liberté. Il est aisé d’intégrer ces équations quand $\mu =0$ et que $\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}.$

En effet, $\mathrm {F} _{0}$ ne dépendant pas des $y,$ ces équations se réduisent à

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&=0,&{\frac {dy_{i}}{dt}}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}=n_{i}.\end{aligned}}$

Les $x_{i}$ et par conséquent les $n_{i}$ sont donc des constantes.

Ainsi, les équations (1) admettent pour solution, quand $\mu =0,$

${\begin{aligned}x_{1}&=a_{1},&x_{2}&=a_{2},&x_{3}&=a_{3},\\y_{1}&=n_{1}t+\varpi _{1},&y_{2}&=n_{2}t+\varpi _{2},&y_{3}&=n_{3}t+\varpi _{3},\end{aligned}}$

les $a$ et les $\varpi$ étant des constantes d’intégration, et les $n$ des fonctions des $a.$

Il est clair que, si

$n_{1}\mathrm {T} ,\quad n_{2}\mathrm {T} ,\quad n_{3}\mathrm {T}$

sont multiples de $2\pi ,$ cette solution est périodique de période $\mathrm {T} .$

Supposons maintenant que $\mu$ cesse d’être nul, et imaginons que, dans une certaine solution, les valeurs des $x$ et des $y$ pour $t=0$ soient respectivement

${\begin{alignedat}{6}x_{1}&=a_{1}&{}+{}&\beta _{1},&x_{2}&=a_{2}&{}+{}&\beta _{2},&x_{3}&=a_{3}&{}+{}&\beta _{3},\\y_{1}&=\varpi _{1}&{}+{}&\beta _{4},\quad &y_{2}&=\varpi _{2}&{}+{}&\beta _{5},\quad &y_{3}&=\varpi _{3}&{}+{}&\beta _{6}.\end{alignedat}}$

Supposons que, dans cette même solution, les valeurs des $x$ et