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CHAPITRE III.

et $n_{2}^{0},$ et la fonction $\mathrm {F} _{1}$ devient une fonction périodique de $t$ de période $\mathrm {T} \,;$ c’est, en outre, une fonction de $\varpi _{2}+\beta '_{2},$ $\varpi _{3}+\beta '_{3},$ $\varpi _{4}+\beta '_{4}$ qui est périodique et de période $2\pi \,;$ enfin elle dépend encore de $x_{3}^{0}+\beta _{3}$ et $x_{4}^{0}+\beta _{4}.$ Nous pouvons écrire

\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\mathrm {A} \cos(m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+m_{3}y_{3}+m_{4}y_{4}+k),

$m_{1},\,m_{2},\,m_{3}$ et $m_{4}$ étant des entiers, $\mathrm {A}$ et $k$ des fonctions des $x_{i}.$ En effet, la fonction $\mathrm {F} _{1}$ est par hypothèse périodique de période $2\pi$ par rapport aux $y_{i}.$

Après la substitution, il vient

\mathrm {F} _{1}={\textstyle \sum }\mathrm {A} \cos(\alpha t+\beta )

où

{\begin{aligned}\alpha &=m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0},\\\beta &=k+m_{2}(\varpi _{2}+\beta '_{2})+m_{3}(\varpi _{3}+\beta '_{3})+m_{4}(\varpi _{4}+\beta '_{4}).\end{aligned}}

Parmi les termes du développement de $\mathrm {F} _{1},$ je distingue ceux pour lesquels $\alpha$ est nul et j’appelle $\mathrm {R}$ l’ensemble de ces termes, de telle sorte que

\mathrm {R} ={\textstyle \sum }\mathrm {A} \cos \beta

la sommation étant étendue à tous les termes pour lesquels on a

m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}=0.

La fonction $\mathrm {F} _{1}$ est une fonction périodique du temps de période $\mathrm {T}$ et $\mathrm {R}$ n’est autre chose que la valeur moyenne de cette fonction, de telle sorte que l’on a