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CHAPITRE IV.

En regardant $h$ comme infiniment petit, on obtiendra une solution des équations (2′) qui correspondent à (1′) comme les équations (2) correspondent à (1)

$\xi _{ki}=h\varphi '_{ki}(t)=h{\frac {y_{ki}}{m_{i}}},\quad \eta _{ki}=hm_{i}\varphi ''_{ki}(t)=h{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{ki}}},\quad$

$h$ désignant un facteur constant très petit que l’on peut supprimer quand on ne considère que les équations linéaires (2′).

Connaissant une solution

$\xi ={\frac {y}{m}},\quad \eta ={\frac {d\mathrm {V} }{dx}}$

de ces équations, on peut déduire une intégrale

$\sum {\frac {y\eta }{m}}-\sum {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}\xi =\mathrm {const.}$

Mais cette même intégrale s’obtient très aisément en différentiant l’équation des forces vives (3).

Si les points matériels sont soustraits à toute action extérieure, on peut déduire de la solution (4) une autre solution

${\begin{alignedat}{6}x_{1i}&=\varphi _{1i}(t)+h+kt,\quad &y_{1i}&=m_{i}\varphi '_{1i}(t)+m_{i}k,\\x_{2i}&=\varphi _{2i}(t),&y_{2i}&=m_{i}\varphi '_{2i}(t),\\x_{3i}&=\varphi _{3i}(t),&y_{3i}&=m_{i}\varphi '_{3i}(t),\\\end{alignedat}}$

$h$ et $k$ étant des constantes quelconques. En regardant ces constantes comme infiniment petites, on obtient deux solutions des équations (2′)

${\begin{alignedat}{6}\xi _{1i}&=1,\qquad &\xi _{2i}&=\xi _{2i}=\eta _{1i}=\eta _{2i}=\eta _{3i}=0,&\\\xi _{1i}&=t,\qquad &\xi _{2i}&=\xi _{2i}=\eta _{2i}=\eta _{3i}=0,\quad &\eta _{1i}&=m_{i}\\\end{alignedat}}$

On obtient ainsi deux intégrales de (2′)

${\begin{array}{c}\sum _{i}\eta _{1i}=\mathrm {const.} ,\\\sum \eta _{1i}t-\sum m_{i}\xi _{1i}=\mathrm {const.} \end{array}}$

On peut obtenir ces intégrales en différentiant les équations du