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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
mouvement du centre de gravité
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,m_{i}x_{1i}&=t\,{\boldsymbol {\Sigma }}\,y_{1i}+\mathrm {const.} ,\\{\textstyle \sum }\,y_{1i}t&=\mathrm {const.} \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a58a5ce97a984e8d059e684cd7ab72bc976ae25)
Si l’on fait tourner la solution (4) d’un angle
autour de l’axe
des
on obtient une autre solution
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1i}&=\varphi _{1i}\cos \omega -\varphi _{2i}\sin \omega ,&{\frac {y_{1i}}{m_{i}}}&=\varphi '_{1i}\cos \omega -\varphi '_{2i}\sin \omega ,\\[1ex]x_{2i}&=\varphi _{1i}\sin \omega +\varphi _{2i}\cos \omega ,&{\frac {y_{2i}}{m_{i}}}&=\varphi '_{1i}\sin \omega +\varphi '_{2i}\cos \omega ,\\[1ex]x_{3i}&=\varphi _{3i},\quad &{\frac {y_{3i}}{m_{i}}}&=\varphi '_{3i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa4ec95debb06aa322962000726643abf048e19)
En regardant
comme infiniment petit, on trouve comme solution de (2′)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{1i}&=-x_{2i},&\eta _{1i}&=-y_{2i},\\\xi _{2i}&=\;\;\;x_{1i},&\eta _{1i}&=\;\;\;y_{1i},\\\xi _{3i}&=\;\;\;0,&\eta _{3i}&=\;\;\;0,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2587c89d486b1032c0bfce574c93a137d0eee71d)
d’où l’intégrale de (2′)
![{\displaystyle {\textstyle \sum }_{i}\left(x_{1i}\eta _{2i}-y_{1i}\xi _{2i}-x_{2i}\eta _{1i}+y_{2i}\xi _{1i}\right)=\mathrm {const.,} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f76b0cf4bbd7ab54dff3e1f0d34c15f7c2183821)
que l’on pouvait obtenir aussi en différentiant l’intégrale des aires de (1′)
![{\displaystyle {\textstyle \sum }\left(x_{1i}y_{2i}-x_{2i}y_{1i}\right)=\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/118af3941d9ba9996452828e703f0ba69f386a0d)
Supposons maintenant que la fonction
soit homogène et de
degré
par rapport aux
ce qui est le cas de la nature.
Les équations (1′) ne changeront pas quand on multipliera
par
les
par
et les
par
étant une constante quelconque.
De la solution (4) on déduira donc la solution suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{ki}&=\lambda ^{2}\varphi _{ki}\left({\frac {t}{\lambda ^{3}}}\right),&y_{ki}&=\lambda ^{-1}m_{i}\varphi '_{ki}\left({\frac {t}{\lambda ^{3}}}\right)\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd14a79a6b7741ee070e7e64ca58b9d50534a3b)
Si l’on regarde
comme très voisin de l’unité, on obtiendra
comme solution des équations (2′)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\xi _{ki}&=2\varphi _{ki}-3t\varphi '_{ki},&\eta _{ki}&=-m_{i}\varphi '_{ki}-3m_{i}t\varphi '_{ki}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64bdaef6201ef1ff657e72d6ba55990af3b2e374)
ou
(5)
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