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CHAPITRE IV.

d’où l’intégrale suivante des équations (2′), laquelle, à la différence de celles que nous avons envisagées jusqu’ici, ne peut être obtenue en différentiant une intégrale connue des équations (1′)

${\textstyle \sum }\left(2x_{ki}\eta _{ki}+y_{ki}\xi _{ki}\right)=3t\left[\sum \left({\frac {y_{ki}\eta _{ki}}{m_{i}}}-{\frac {d\mathrm {V} }{dx_{ki}}}\xi _{ki}\right)\right]+\mathrm {const.}$

Application de la théorie des substitutions linéaires.

57.Avant d’aller plus loin, je suis obligé de rappeler quelques-unes des propriétés des transformations linéaires qui nous seront utiles dans la suite.

Soit

(1)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}\gamma _{1}&=a_{1}\beta _{1}&{}+{}&a_{2}\beta _{2}&{}+{}&a_{3}\beta _{3},\\\gamma _{2}&=b_{1}\beta _{1}&{}+{}&b_{2}\beta _{2}&{}+{}&b_{3}\beta _{3},\\\gamma _{3}&=c_{1}\beta _{1}&{}+{}&c_{2}\beta _{2}&{}+{}&c_{3}\beta _{3}\end{alignedat}}\right.$

une substitution linéaire qui lie les variables $\beta$ aux variables $\gamma .$ Le déterminant de cette substitution est

$\Delta =\left|{\begin{array}{ccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}}\right|,\qquad$

et l’équation

(2)

$\left|{\begin{array}{ccc}a_{1}-\mathrm {S} &a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}-\mathrm {S} &b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0$

est ce qu’on appelle l’équation en $\mathrm {S}$ de la substitution (1). Si l’on fait subir aux $\beta$ et aux $\gamma$ une même substitution linéaire, c’est-à-dire si l’on pose

${\begin{alignedat}{5}\beta '_{i}&=\lambda _{i,1}\beta _{1}&{}+{}&\lambda _{i,2}\beta _{2}&{}+{}&\lambda _{i,3}\beta _{3},\\\gamma '_{i}&=\lambda _{i,1}\gamma _{1}&{}+{}&\lambda _{i,2}\gamma _{2}&{}+{}&\lambda _{i,3}\gamma _{3},\end{alignedat}}$

les $\lambda$ étant des constantes ; les $\gamma '$ et les $\beta '$ seront liés entre eux par des relations linéaires de même forme que (1), et l’on aura

(3)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}\gamma '_{1}&=a'_{1}\beta '_{1}&{}+&a'_{2}\beta '_{2}&{}+&a'_{3}\beta '_{3},\\\gamma '_{2}&=b'_{1}\beta '_{1}&{}+&b'_{2}\beta '_{2}&{}+&b'_{3}\beta '_{3},\\\gamma '_{3}&=c'_{1}\beta '_{1}&{}+&c'_{2}\beta '_{2}&{}+&c'_{3}\beta '_{3}.\end{alignedat}}\right.$