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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
Les fonctions
sont des fonctions périodiques de
de
période
on a donc, pour
![{\displaystyle \beta _{i}=\mathrm {S} _{i}(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1da27f2a4f022d2668488859515fb0abefb61a9)
et, pour ![{\displaystyle t=\mathrm {T} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f81fa00bfbac563969614bae4cd0d8020c5e005)
![{\displaystyle \beta _{i}+\psi _{i}=e^{\alpha \mathrm {T} }\mathrm {S} _{i}(\mathrm {T} )=e^{\alpha \mathrm {T} }\mathrm {S} _{i}(0)=e^{\alpha \mathrm {T} }\beta _{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2a4ac5a355ef36b2374b16d691e36dadb9be306)
ou, en remplaçant
par sa valeur,
![{\displaystyle \beta _{i}\left(e^{\alpha \mathrm {T} }\!-\!1\right)={\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}\beta _{1}+{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}\beta _{2}+\ldots +{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}\beta _{n}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5049c08ba67936e18ddab9527bfe88580766a933)
En éliminant
entre des
équations,
il vient
![{\displaystyle \left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\vdots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }&\vdots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}\\\cdots \cdots &\cdots \cdots \cdots \cdots &\vdots &\cdots \cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\vdots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }\end{array}}\right|=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64932032fca39049513afd5e87af6e1504414eb7)
d’où la règle suivante
Pour obtenir les exposants caractéristiques
on forme le déterminant
fonctionnel des
par rapport aux
on forme l’équation
en
correspondante : les racines de cette équation sont égales à
Dans les dérivées partielles
il va sans dire qu’il faut,
après les différentiations, annuler tous les
Cas où le temps n’entre pas explicitement.
61.Quand le temps
n’entre pas explicitement dans les
équations (1) du no 59, l’un au moins des exposants caractéristiques est
nul. Soit, en effet,
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111e611ef90227502441d4bb4069816ece40367e)
la solution génératrice ; si l’on fait
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t+h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c157eb568b0157a4d0b5ef2ccba0da314d4a95b9)