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CHAPITRE IV.

Équation qui définit ces exposants.

60.Reprenons les équations (1) du numéro précédent ; considérons une solution quelconque

$x_{i}=\varphi _{i}(t)+\xi _{i}.$

Soit $\mathrm {T}$ la période de la solution périodique génératrice $x_{i}=\varphi _{i}(t)\,;$ soit $\varphi _{i}(0)+\beta _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=0,$ et $\varphi _{i}(\mathrm {T} )+\beta _{i}+\psi _{i}$ la valeur de $x_{i}$ pour $t=\mathrm {T} .$

Comme les $\psi _{i}$ s’annulent avec les $\beta _{i}$ et sont développables suivant les puissances croissantes des $\beta _{i},$ nous pouvons écrire, par la formule de Taylor,

$\psi _{i}={\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}\beta _{1}+{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}\beta _{2}+\ldots +{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}\beta _{n}+\ldots .$

Si la solution considérée diffère assez peu de la solution périodique pour qu’on puisse négliger les carrés des $\xi ,$ on pourra également négliger les carrés des $\beta$ et il restera

$\psi _{i}={\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}\beta _{1}+{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}\beta _{2}+\ldots +{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}\beta _{n}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

Considérons une des solutions particulières des équations aux variations (2), nous aurons pour $t=0$

$\xi _{i}=\beta _{i}$

et pour $t=\mathrm {T}$

$\xi _{i}=\beta _{i}+\psi _{i}$

Parmi ces solutions particulières, nous avons vu au n^o 59 qu’il y en a $n$ qui sont d’une forme remarquable : ce sont les solutions (3) ; soit

${\begin{aligned}\xi _{1}&=e^{\alpha _{k}t}\mathrm {S} _{1,k},&\xi _{2}&=e^{\alpha _{k}t}\mathrm {S} _{2,k},&&\ldots ,&\xi _{n}&=e^{\alpha _{k}t}\mathrm {S} _{n,k},&\end{aligned}}$

l’une de ces solutions (3), ou, en supprimant l’indice $k$ pour abréger l’écriture,

$\xi _{i}=e^{\alpha t}\mathrm {S} _{i}(t).$