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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

Or les exposants caractéristiques $\alpha$ sont donnés par l’équation

$\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }&\cdots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}\\\cdots \cdots &\cdots \cdots \cdots \cdots &\cdots &\cdots \cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}+1-e^{\alpha \mathrm {T} }\\\end{array}}\right|=0.$

Dire que $\Delta$ est nul, c’est donc dire que l’un des exposants caractéristiques est nul ; de sorte que nous pouvons énoncer ainsi le premier des théorèmes démontrés au paragraphe précédent :

Si les équations (1) qui dépendent d’un paramètre $\mu$ admettent pour $\mu =0$ une solution périodique dont aucun des exposants caractéristiques ne soit nul, elles admettront encore une solution périodique pour les petites valeurs de $\mu .$

63.On peut arriver à un résultat analogue quand on suppose, comme au n^o 38, que le temps n’entre pas explicitement dans les équations différentielles.

Nous avons vu au n^o 38 que la condition suffisante pour qu’il y ait encore des solutions périodiques pour les petites valeurs de $\mu ,$ c’est que pour $\mu =0$ tous les déterminants contenus dans la matrice

$\left|\left|{\begin{array}{ccccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{1}}{d\tau }}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\tau }}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\tau }}\end{array}}\right|\right|$

ne soient pas nuls à la fois.

Cela posé, considérons l’équations en $\mathrm {S} \,:$

$\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}\\{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}-\mathrm {S} &\cdots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}-\mathrm {S} \end{array}}\right|=0.$