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CHAPITRE IV.

Ses racines sont, comme nous l’avons vu au n^o 60, égales à $e^{\alpha \mathrm {T} }-1,$ $\mathrm {T}$ étant la période et $\alpha$ un exposant caractéristique. Le temps n’entrant pas explicitement dans les équations, un de ces exposants doit être nul d’après ce que nous avons vu au n^o 61.

L’équation en $\mathrm {S}$ a donc au moins une racine nulle ; je dis que si elle n’en a qu’une, il y aura encore des solutions périodiques pour les petites valeurs de $\mu .$

En effet, d’après ce que nous avons vu au n^o 58, il est toujours permis de supposer que

{\begin{aligned}{\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&={\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{2}}}={\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{3}}}=\cdots ={\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{n}}}=0,\\{\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}&={\frac {d\psi _{2}}{d\beta _{1}}}={\frac {d\psi _{3}}{d\beta _{1}}}=\cdots ={\frac {d\psi _{n}}{d\beta _{1}}}=0.\end{aligned}}

Le premier membre de l’équation en $\mathrm {S}$ s’écrit

-\mathrm {S} \,\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}-\mathrm {S} &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{3}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{2}}{d\beta _{n}}}\\{\dfrac {d\psi _{3}}{d\beta _{2}}}&{\dfrac {d\psi _{3}}{d\beta _{3}}}-\mathrm {S} &\cdots &{\dfrac {d\psi _{3}}{d\beta _{n}}}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{2}}}&{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{3}}}&\cdots &{\dfrac {d\psi _{n}}{d\beta _{n}}}-\mathrm {S} \\\end{array}}\right|.

Si donc l’équation en $\mathrm {S}$ n’a qu’une racine nulle, le déterminant fonctionnel $\delta$ de $\psi _{2},$ $\psi _{3},,$ $\ldots ,$ $\psi _{n},$ par rapport à $\beta _{2},$ $\beta _{3},,$ $\ldots ,$ $\beta _{n},$ ne sera pas nul.