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EXPOSANTS CARACTERISTIQUES.

d’où

${\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}=0$

ou

${\frac {d\psi _{1}}{d\tau }}=0$

Dans le premier cas, le théorème est démontré ; dans le second cas, écrivons l’équation (2) en faisant $i=2\,;$ il vient

${\frac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}{\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}=0$

d’où

${\frac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}=0$

ou

${\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}=0.$

Dans le premier cas, le théorème est démontré ; dans le second cas, on a

${\frac {d\psi _{1}}{d\tau }}={\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}=0,$

d’où l’on peut conclure (puisque nous excluons le cas où tous les ${\frac {d\psi _{i}}{d\tau }}$ sont nuls à la fois) que ${\frac {d\psi _{3}}{d\tau }}$ et ${\frac {d\psi _{4}}{d\tau }}$ ne sont pas nuls tous deux. Formons les mineurs que l’on obtient en supprimant dans la matrice (1) les troisième et quatrième colonnes et la troisième ligne (ou bien les troisième et quatrième colonnes et la quatrième ligne). Ces deux mineurs devront être nuls, ce qui donne

${\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}{\frac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}{\frac {d\psi _{3}}{d\tau }}={\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}{\frac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}{\frac {d\psi _{4}}{d\tau }}=0,$

d’où cette conclusion (puisque ${\frac {d\psi _{3}}{d\tau }}$ et ${\frac {d\psi _{4}}{d\tau }}$ ne sont pas nuis tous deux) que l’on a

${\frac {d\psi _{1}}{d\beta _{1}}}=0$

ou

${\frac {d\psi _{2}}{d\beta _{2}}}=0$

C.Q.F.D.