192
CHAPITRE IV.
68.Nous avons exclu dans les numéros précédents le cas où
![{\displaystyle \varphi _{1}(t),\,\varphi _{2}(t),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d3db759295a2be6398b29abdd266d8e4d63bb35)
sont des constantes, c’est-à-dire le cas où l’on a à la fois
![{\displaystyle {\frac {d\psi _{1}}{d\tau }}={\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}=\ldots ={\frac {d\psi _{n}}{d\tau }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d35bff5fe81f4edce41750135c724084eafb95)
Si l’on suppose toujours que le temps n’entre pas explicitement
dans les équations différentielles, on a encore les équations
![{\displaystyle {\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}{\frac {d\psi _{1}}{d\tau }}+{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}{\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}+\ldots +{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}{\frac {d\psi _{n}}{d\tau }}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1a5623f835c336e15b09790b91689a8dd21b61)
Mais ces équations n’entraînent plus, comme conséquence, que le
déterminant fonctionnel des
par rapport au
est nul, ni que
l’un des exposants caractéristiques est toujours nul.
Si les équations différentielles admettent
intégrales, on pourra
donc seulement en conclure qu’il y a au moins
exposants caractéristiques
nuls (et non plus
) comme dans le cas où le
temps entre explicitement dans les équations.
Cas des équations de la Dynamique.
69.Passons maintenant aux équations de la Dynamique
(1)
|
|
|
où je suppose que le temps n’entre pas explicitement. Elles admettront
l’intégrale des forces vives
![{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {const.} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ba6cbfb2d8647df984ebb050c2e46a1bd6d95e)
Supposons que les équations (1) admettent une solution périodique
de période
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\psi _{i}(t),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/112be524529b20f46de1e34b1e9b2aaea4eea823)
et formons les équations aux variations en posant
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+\xi _{i},&y_{i}&=\psi _{i}(t)+\eta _{i}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a15ef76f7e9cc61a9c3375bb0fd9c9fe86dcd0b6)