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CHAPITRE IV.

68.Nous avons exclu dans les numéros précédents le cas où

$\varphi _{1}(t),\,\varphi _{2}(t),\,\ldots ,\,\varphi _{n}(t)$

sont des constantes, c’est-à-dire le cas où l’on a à la fois

${\frac {d\psi _{1}}{d\tau }}={\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}=\ldots ={\frac {d\psi _{n}}{d\tau }}=0.$

Si l’on suppose toujours que le temps n’entre pas explicitement dans les équations différentielles, on a encore les équations

${\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{1}}}{\frac {d\psi _{1}}{d\tau }}+{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{2}}}{\frac {d\psi _{2}}{d\tau }}+\ldots +{\frac {d\psi _{i}}{d\beta _{n}}}{\frac {d\psi _{n}}{d\tau }}=0.$

Mais ces équations n’entraînent plus, comme conséquence, que le déterminant fonctionnel des $\psi$ par rapport au $\beta$ est nul, ni que l’un des exposants caractéristiques est toujours nul.

Si les équations différentielles admettent $p$ intégrales, on pourra donc seulement en conclure qu’il y a au moins $p$ exposants caractéristiques nuls (et non plus $p+1$) comme dans le cas où le temps entre explicitement dans les équations.

Cas des équations de la Dynamique.

69.Passons maintenant aux équations de la Dynamique

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}&(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n),\end{aligned}}$

où je suppose que le temps n’entre pas explicitement. Elles admettront l’intégrale des forces vives

$\mathrm {F} =\mathrm {const.}$

Supposons que les équations (1) admettent une solution périodique de période $2\pi$

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\psi _{i}(t),\end{aligned}}$

et formons les équations aux variations en posant

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+\xi _{i},&y_{i}&=\psi _{i}(t)+\eta _{i}.\end{aligned}}$