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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.

Examinons d’abord l’équation $\mathrm {D} _{1}=0.$

Pour former le déterminant $\mathrm {D} _{1}$ on peut appliquer la règle suivante ;

Écrire le hessien de $\mathrm {R}$ par rapport à

$\varpi _{2},\quad \ldots ,\quad \varpi _{n},\quad \beta _{n}\,;$

changer les signes de la dernière ligne, celle qui contient les dérivées de ${\frac {d\mathrm {R} }{d\beta _{n}}}\,;$ ajouter ensuite $-\eta$ aux deux éléments qui sont égaux à ${\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{n}\,d\beta _{n}}}$ et à $-{\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{n}\,d\beta _{n}}}\cdot$

On obtient la même équation plus simplement (le premier membre étant seulement changé de signe) en prenant le hessien de $\mathrm {R} ,$ et ajoutant $-\eta$ à l’un des deux éléments qui sont égaux à ${\frac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{n}\,d\beta _{n}}}$ et $+\eta$ à l’autre. Écrivons l’équation $\mathrm {D} _{1}=0$ en supposant $n=4$ pour fixer les idées :

$\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}^{2}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}\,d\varpi _{3}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}\,d\varpi _{4}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}\,d\beta _{4}}}\\{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}\,d\varpi _{3}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{3}^{2}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{3}\,d\varpi _{4}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{3}\,d\beta _{4}}}\\{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}\,d\varpi _{4}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{3}\,d\varpi _{4}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{4}^{2}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{4}\,d\beta _{4}}}+\eta \\{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{2}\,d\beta _{4}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{3}\,d\beta _{4}}}&{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\varpi _{4}\,d\beta _{4}}}-\eta &{\dfrac {d^{2}\mathrm {R} }{d\beta _{4}^{2}}}\\\end{array}}\right|=0.$

Sous cette forme on voit immédiatement ce que d’ailleurs on pouvait prévoir : que cette équation en $\eta$ ses deux racines égales et de signe contraire.

Ces deux racines seront finies si le hessien de $\mathrm {R}$ par rapport à

$\varpi _{2},\quad \varpi _{3},\quad \varpi _{4},\quad \ldots ,\quad \varpi _{n-1}$

n’est pas nul.

Elles seront différentes de 0, si le hessien de $\mathrm {R}$ par rapport à

$\varpi _{2},\quad \varpi _{3},\quad \varpi _{4},\quad \ldots ,\quad \varpi _{n-1},\quad \varpi _{n},\quad \beta _{n}$

n’est pas nul.

Quant à l’équation $\mathrm {D} _{2}=0,$ elle aura ses deux racines nulles. En effet, nous savons qu’il y a toujours deux exposants caractéristiques nuls et, par conséquent, que deux des valeurs de $\eta$ sont