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CHAPITRE IV.
nulles ; or nous venons de voir que les racines de 
ne sont
pas nulles en général : il faut donc admettre que ce sont les racines
de 
qui sont toujours nulles.
Comment ces résultats seraient-ils modifiés si la condition (1) du no 75 n’était pas remplie d’elle-même ?
Dans ce cas on multiplierait (comme nous l’avons fait au no 74)
la première ligne par 
et on y ajouterait les 
e, 
e, 
ième lignes, multipliées respectivement par 
(je rappelle d’ailleurs que est nul) ; on multiplierait
ensuite la 
ième colonne par et on y ajouterait les
e, 
e, 
ième colonnes,
multipliées respectivement par 
Après cette transformation, tous les éléments du déterminant 
demeureraient les mêmes, sauf ceux de la première ligne et de la ième colonne.
D’ailleurs, chaque élément [aussi bien ceux de la première ligne et de la ième
colonne que les autres] est divisible par la puissance
de 
indiquée dans la e colonne des tableaux (4) et (4 bis).
Nous diviserons ensuite chaque élément par 
et par la puissance
de indiquée dans la 
e colonne des mêmes tableaux.
Quand nous ferons ensuite 
un certain nombre d’éléments
seront nuls et d’autres resteront finis, et cela conformément aux
tableaux (4) et (4 bis). Notre déterminant se trouvera encore égal
au produit de deux autres 
et 
qui s’obtiendront comme plus haut.
Tous les éléments de ces deux déterminants auront même
expression que dans le cas précédent, sauf ceux de la première ligne
et de la ième colonne. Or ne contient aucun élément de
cette ligne et de cette colonne.
Donc a la même expression que dans le cas précédent et les
mêmes conclusions subsistent.
Les valeurs de 
sont finies si le hessien de 
par rapport à 
n’est pas nul, et elles sont différentes de 0, si le
hessien de par rapport à 
n’est pas nul.
En résumé, si 
ne dépend pas de 
si le hessien bordé de
par rapport à 
n’est pas nul, si les hessiens de par rapport à
et par rapport à
ne sont pas nuls,
il n’y aura que deux exposants caractéristiques nuls.
