Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 1, 1892.djvu/240

228

CHAPITRE IV.

nul pour $t=0,$ conformément à l’hypothèse faite plus haut, et les cinq équations (14) restées indépendantes permettront de calculer les cinq autres inconnues.

Les équations (13) nous permettront ensuite de calculer ${\frac {d\mathrm {T} _{i}^{m+1}}{dt}}$ et ${\frac {d\mathrm {S} _{i}^{m+2}}{dt}}$ et, par conséquent, de déterminer les fonctions $\mathrm {T} _{i}^{m+1}$ et $\mathrm {S} _{i}^{m+2}$ à une constante près ; et ainsi de suite.

Solutions dégénérescentes.

80.Reprenons les équations (1) du numéro précédent

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}&(i=1,\,2,\,3).\end{aligned}}$

Nous avons supposé qu’il existait une solution périodique de période $\mathrm {T}$

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\psi _{i}(t)\,;\end{aligned}}$

posant ensuite

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+\xi _{i},&y_{i}&=\psi _{i}(t)+\eta _{i},\end{aligned}}$

nous avons formé les équations aux variations

(2)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}&=\;\;\;\,\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dx_{k}}}\xi _{k}+\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dy_{i}\,dy_{k}}}\eta _{k},\\{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=-\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dx_{k}}}\xi _{k}-\sum {\frac {d^{2}\mathrm {F} }{dx_{i}\,dy_{k}}}\eta _{k}.\\\end{aligned}}\right.$

Ces équations, ayant en général quatre exposants caractéristiques différents de 0, admettront quatre solutions particulières de la forme

${\begin{aligned}\xi _{i}&=e^{\alpha t}\mathrm {S} _{i},&\eta _{i}&=e^{\alpha t}\mathrm {T} _{i},\end{aligned}}$

$\mathrm {S} _{i}$ et $\mathrm {T} _{i}$ étant périodiques. Nous avons appris à former ces intégrales.

Mais les équations (2) auront, en outre, deux exposants caractéristiques nuls : elles admettront donc deux solutions particulières de la forme

(3)

$\left\{{\begin{aligned}\xi _{i}&=\mathrm {S} ''_{i},&\eta _{i}&=\mathrm {T} ''_{i},\\\xi _{i}&=\mathrm {S} _{i}^{\star }+t\mathrm {S} ''_{i},&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i}^{\star }+t\mathrm {T} ''_{i},\end{aligned}}\right.$