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EXPOSANTS CARACTÉRISTIQUES.
étant périodiques de même période que
et ![{\displaystyle \mathrm {T} _{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b21ebbec0d2530fe5d289b61ea9b4bd1aa719a)
Comment doit-on s’y prendre pour former ces solutions (3) ?
Nous avons vu au no 42 que les équations (1) admettent une
solution périodique
(4)
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de période
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {T} }{1+\varepsilon }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/334ea951eda80ff345a3d1e63683a805a38f689e)
qui se réduit à
![{\displaystyle x_{i}=\varphi _{i}(t),\qquad y_{i}=\psi _{i}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20cab0f7aa1b9b76c216d65690457a41181757d2)
pour
![{\displaystyle t=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9248d91021260015d75d2b7540612616bbb36b88)
Les fonctions
et
sont développables suivant les puissances
croissantes de
Posons maintenant
![{\displaystyle t={\frac {u}{1+\varepsilon }},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46311918e335900ae4f46d20dae9b42121592c29)
d’où
![{\displaystyle \quad u=t(1+\varepsilon ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2e93f15b92d12688e76df498e33075385e71298)
Si nous substituons cette valeur à la place de
dans les équations (4), il viendra
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\theta _{i}(u,\,\mu ,\,\varepsilon ),&y_{i}&=\Theta _{i}(u,\,\mu ,\,\varepsilon ).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ef0d211720e1f152775144eb49067b6da6146bb)
Les fonctions
et
seront encore développables suivant les
puissances de
et de
mais elles seront périodiques en
et la
période sera constante et égale à
elles seront donc développables
suivant les sinus et cosinus des multiples de ![{\displaystyle {\frac {2\pi u}{\mathrm {T} }}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89763fdcf4df0f5205c95553bcf39181945889ef)
Si
est une constante quelconque
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t+h,\,\mu ,\,\varepsilon ),&y_{i}&=\psi _{i}(t+h,\,\mu ,\,\varepsilon )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9868b3d3c624856d0049055f61a5ecb84a6de6fd)
est encore une solution des équations (1), puisque le temps n’entre
pas explicitement dans ces équations. Cette solution contient deux
constantes arbitraires
et ![{\displaystyle \varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5807913813d5188ce49b63a9b26d43f7a7763c19)
Le no 54 nous fournit le moyen d’en déduire deux solutions des
équations aux variations (2).