CHAPITRE V.
NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.
81.Reprenons nos équations canoniques
(1) |
Je suppose d’abord que qui ne dépend pas des dépend des variables et que son hessien par rapport à ces variables n’est pas nul.
Je me propose de démontrer que, sauf dans certains cas exceptionnels que nous étudierons plus loin, les équations (1) n’admettent pas d’autre intégrale analytique et uniforme que l’intégrale
Voici ce que j’entends par là :
Soit une fonction analytique et uniforme des des et de qui doit de plus être périodique par rapport aux
Je ne suis pas obligé de supposer que cette fonction soit analytique et uniforme pour toutes les valeurs des des et de
Je suppose seulement cette fonction analytique et uniforme pour toutes les valeurs réelles des pour les valeurs suffisamment petites de et pour les systèmes de valeurs des appartenant à un certain domaine D ; le domaine D peut d’ailleurs être quelconque et être aussi petit qu’on le veut. Dans ces conditions, la fonction est développable par rapport aux puissances de et je puis écrire
étant uniformes par rapport aux et aux et périodiques par rapport aux