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NON-EXISTENCE DES INTÉGRALES UNIFORMES.
il vient
est une fonction uniforme des et des si l’on y remplace
par la fonction uniforme on obtiendra une fonction uniforme
de de et des
mais, par hypothèse, cette fonction ne dépend que de
Donc est fonction uniforme de
Cela a lieu pourvu que ne s’annule pas dans le domaine D ;
cela aura lieu également si l’une des dérivées ne s’annule pas
dans le domaine D.
Cela posé, si est une intégrale uniforme, il en sera de même de
est développable suivant les puissances de et de plus
est divisible par puisque est nul. Posons donc
sera une intégrale analytique et uniforme et il viendra
En général, ne sera pas une fonction de si cela avait lieu,
on recommencerait la même opération.
Je dis qu’en recommençant ainsi cette opération, on finira par
arriver à une intégrale qui ne se réduira pas à une fonction de
pour
À moins toutefois que ne soit une fonction de auquel cas
les deux intégrales et ne seraient plus distinctes.
En effet, soit le jacobien, ou déterminant fonctionnel de et
de par rapport à deux des variables et Je puis supposer
que ce jacobien n’est pas identiquement nul, puisque, si tous les
jacobiens étaient nuls, serait fonction de ce que nous ne
supposons pas.
sera manifestement développable suivant les puissances de
De plus s’annulera avec puisque
est fonction de sera